Euclidis Elementa / 24-25 (1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XXVI Proposition. Theorem a) - Första Boken. XXVI Proposition. Theorem b)

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Bevis. Ty låt, om det vore möjligt, DF>AC,
och gör GF=AC, a; drag EG.

Då äro, enligt hypotheserna, tvänne sidor AC och BC,
uti den ena triangeln, lika stora med hvar sin sida GF
och EF uti den andra, samt mellanliggande vinkeln C=F;
derföre måste vinkeln GEF, som står emot sidan GF,
vara lika stor med vinkeln B, som står emot den lika
stora sidan AC, b. Men nu är det antaget, att
vinkeln B=DEF; alltså skulle vinkeln
DEF-GEF, c, det hela lika
stort med sin del, hvilket är omöjligt;
alltså kan ej DF>AC. På samma sätt bevises
äfven, att icke DF<AC; hvaraf följer, att
DF=AC.

Emedan således BC=EF, enligt hypothesen, och det
nu är bevist, att AC=DF, samt vinkeln C=F, enligt
hypothesen; så måste, b, basen AB=DE och vinkeln
A=D, h. s. b.

a. 8 prop.
b. 4 prop.
c. 1 axiom.


XXVI Proposition. Theorem b).

Om tvänne vinklar uti en triangel äro lika stora
med hvar sin vinkel uti en annan triangel, och en
sida, som står emot någon af dessa vinklar uti den
ena triangeln, är lika stor med den sidan, som står
emot den lika stora vinkeln uti den andra triangeln;
så skola de öfriga sidorna uti den ena triangeln
vara lika stora med hvar sin af de öfriga sidorna
uti den andra triangeln, nämligen så, att
de sidor blifva lika stora, som ligga emellan
de bekanta vinklarne, samt den öfriga vinkeln
uti den ena triangeln lika stor med den öfriga
vinkeln uti den andra.



Låt uti trianglarna ABC, DEF, vinkeln B=E, C=F,
samt sidan AC, som står emot vinkeln B, vara lika
stor med DF, som står emot den lika stora vinkeln E;
så skall det bevisas, att mellanliggande sidan BC=EF,
att AB=DE, samt att vinkeln A=D.

Bevis. Ty låt, om det vore möjligt, EF>BC,
och gör GF=BC, a, samt drag DG.

Då äro uti trianglarna ABC, DGF, sidan AC=DF,
sidan BC=GF, och mellanliggande vinkeln C=F;
derföre skulle vinkeln ABC==DGF, eftersom, dessa båda
vinklar stå emot de lika stora sidorna AC och DF, b.
Men nu är det antaget, att vinkeln ABC=DEF;
alltså skulle vinkeln DEF=DGF, c; d.v.s. att
den yttre vinkeln skulle vara lika stor
med den, som står emot honom inuti triangeln
DEG, hvilket är omöjligt, d.
Alltså kan icke EF>BC; och på samma sätt bevises,
att icke EF<BG; hvadan nödvändigt EF=BC.

Efter då tvänne sidor AC och BC, samt mellanliggande
vinkeln C, uti den ena triangeln, äro lika stora med
hvar sin sida DF och EF, samt mellanliggande vinkeln
F, uti den andra triangeln, så måste AB = DE, samt
vinkeln A=D, b, h. s. b.

a. 3 prop.
b. 4 prop.
c. 1 axiom.
d 16 prop.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>