Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Tolfte Boken. I Proposition. Theorem - Tolfte Boken. II Proposition. Theorem
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
292
Tolfte Boken.
således
Låt cylindrens bas vara n B, hans höjd H, och
hans rymd K; det skall bevisas, att
K = BH.
Bevis. Antagom, att ett prisma vore inskrifvet uti
cylindern, såsom DEFA; hvars höjd är H. Detta prismas
bas, nämligen månghörningen DEF etc. måste vara
mindre, än cylindrens bas, eller cirkeln, hvaruti
han är inskrifven; och sjelfva prismat mindre än
cylindren. Låt b vara prismats bas, och k dess rymd,
samt
B = b + b’, och K = k + k’, eller, , b =
B - b’, och k = K+k’; så måste
k = (B-b’). H ... 33 prop. 11. eller .
. . K - k’ = BH-b’H;
och.....K = BH - b’H + k’ ; ehuru mångkantigt prismat
k än må vara.
Men nu äro qvantiteterna b’ och k’ olika, allteftersom
prismerna äro mer eller mindre mångkantiga; så att
dessa qvantiteter äro mindre för prismat DGEHFA,
än för prismat DEFA; och således skulle storleken
af K, d. v. s. af en gifven cylinder, blifva olika,
allteftersom man uti honom behagade inskrifva ett mer
eller mindre mångkantigt prisma, hvilket är omöjligt,
Då likväl eqvationen
K = B.H - b’ . H + k’
skall gälla för alla möjliga uti cylindren
inskrifna prismer, är detta ej annorlunda möjligt,
än att
- b/H + k’ = o; hvadan . . K-B.H, h. s. b
Tolfte Boken.
293
Scholium, Emedan basen är en cirkel, så måste B =
;rR2, om man antager cirkelns radie att vara R;
således är pi R2 . H cubikinnehållet af en cylinder,
hvars radie är R och hvars höjd är H.
II Proposition. Theorem
Buktiga ytan of en cylinder är lika med basens
peripheri multiplicerad med cylinderns höjd.
Bevis. Låt ett prisma ABEF vara omskrifvet omkring
cylindern; så måste omkretsen af prismats bas
vara större än cirkelns peripheri, och prismats
convexa yta, d. v. s. alla rectanglarne AB, AF
etc. tillsammans, vara större än cylindrens buktiga
yta.
Kallar man då omkretsen af cylindrens bas p, af
prismats bas P, cylindrens och prismats gemensamma
höjd h, cylindrens buktiga yta a. och prismats convexa
yta A; samt
A. - a =± a’, eller A ~ a -f a och . . . P-p =
p, eller P^p4-p; så måste. A = P. h ~ (p 4- p), h, d.
v. s.
a-f a’ = ph -fp’h eller . a = p. h. + p’h ~
a’; uti hvilken eqva-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
