Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Algebraiska formler
Komplexa tal. Den imaginära enheten bru*
kar betecknas med i. Ett rent imaginärt
tal är produkten av ett reellt tal och i
och har alltså formen bi, där b är reellt.
Ett komplext tal är sammansatt av en
reell del och en imaginär del och kan
skrivas a + bi, där a och b äro reella tal.
För de komplexa talen gälla samma räkne*
regler som för de reella, om man definie*
rar i2 genom i2 — — 1.
Räkneregler:
(a+bi)+(c+d,)=(a+c)+(b+d) i
(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc) i
ca+bi) (a-bi) = a2+b2
a + bi (a+bi) (c—di)_ac+bd
c+di~(c+di) (c—di)~ c2+æ +
■ . bc—ad , „ . ,„
(c2+c/2‡0)
i3 = —i; I4 = l; i5—i; i8 = i2 = -1;
j’4n = 1 • j4n + l = f • f4n+2 =— J ■ j’4n+3 =— }
Obs! För att ett komplext tal skall vara
0, måste både reella och imaginära de*
larna var för sig vara 0. Ur a + bi = 0 föl*
jer alltså: a = 0 och b = 0.
De två talen a + bi och a—bi sägas vara
konjugerat komplexa kvantiteter. Man
brukar markera övergång till den konju*
gerade kvantiteten genom ett vågrätt
streck över talet:
5+37=5—3z, 2—9i = 2 + 9i
Geometrisk tolkning. Ett komplext tal
z—a + bi kan åskådliggöras som en punkt
med koordinaterna a och b i det Gausska
talplanet. De reella talen tilldelas vågräta
axeln, de imaginära lodräta axeln (se fig.
2/1).
Om man inför polarkoordinater(a =
= rcos (p, fc = rsin<p), kan z skrivas på
formen z — r(cos <f> + i sin qp) —re1’^ (normal*
formen). Här kallas r=Va2+è>2 det kom*
Fig. 2/1. Gausska talplanet.
plexa talets absoluta belopp, och beteck*
nas med |z|. <p kallas talets argument.
Moivres sats. Ur normalformen erhålles (n
godtyckligt och <p mätt i bågmått):
(eos fp+i sin cp)" =cos n<f+i sin n(p — enicP
Genom att här skilja de reella och imagi*
nära delarna erhållas en del viktiga tri*
gonometriska formler (se s. 85 och 86).
Enhetsrötterna dvs. rötterna till ekv.
zn = 1 fås ur formeln
k+Tb = \vf\ • (eos I+^l+i siny+n2^)
(fc=0, 1,... n—1)
Härur erhålles:
VT = eos ———+i sin——— (k=0,1, 2, ... n-1)
n n
" (2k+\)n
V — 1 = eos–-1
n
+I-sin^±^(fc=0) 1, 2, ...n-1)
^ VT- i i . . vT i .VT
Ex.: VI =1, — ~2~+l’ ~2~> —
ALLMÄNNA DELEN
5
65
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
