Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
Trigonometrisk lösning, då Man
bestämmer vinkeln så att eos 3a —
tf
Då bli rötterna:
, = 2j/-
‡ cos(a +120°)
eos (a+ 240°)
Ex.: Lös ekvationen x3—9x + 4 = 0
Zl=22—33<0.\3 reella rötter
eos 30 = 37,54°
y3s
Xj = 2\ 3 eos 37,54° = 2,747
x2 = 2V3 eos 157,54° = —3,2oi
x3 = 2V3~cos 277,54° = 0,454 7
Grafisk lösning. Se s. 73.
3. Ekvationer av högre grad
En ekvation av n:e graden kan skrivas
på formen
xn+a1x"-i+a2xn-2+ . . . +an_1x+an=0
Den har alltid n rötter, reella eller kom*
plexa, som kunna vara helt eller delvis
sammanfallande. Om koefficienterna äro
reella, så kunna de komplexa rötterna
endast förekomma parvis i form av kon*
jugerat komplexa tal.
Nedbringande av gradtalet. En ekvations
gradtal kan nedbringas ett steg om man
känner en rot. Är denna x^ kan ekvatio*
nen nämligen divideras med x—xu och
samtliga återstående rötter fås ur kvoten.
Ex.: Ekvationen x3—llx2 + 38x—40 = 0 har
en rot Xi = 2.
Den kan alltså divideras med x—2:
x3—llx2 + 38x—40 x—2
x3—2x2
—9x2 + 38x
—9x2 + 18x
x2—9x + 20
20x—40
20x—40
De återstående rötterna finnas i 2:a*grads*
ekvationen: x2—9x + 20 = 0 (x2 = 5,x3 = 4)
Samband mellan rötter och koefficienter.
En ekvation med rötterna xlt x2, • • *, x/(
kan skrivas som produkt: (x—xt) (x—
—Xo) ... (x—xn) = 0. Genom att multipli*
cera ihop och jämföra koefficienterna med
dem i den ursprungliga ekvationen, fås de
sökta sambanden, varav följande äro de
viktigaste:
xt + x2+ ... +xn~—a1
x1x2–-x/z = (—1 )«a„
Ekvationers lösbarhet. Ekvationer upp till
4:e graden kunna lösas exakt med alge*
braiska metoder. Dock bli räkningarna vid
4:e* och ofta även vid 3:e*gradsekvatio*
nerna i allmänhet så besvärliga, att man
i stället använder approximationsmetoder
eller grafiska metoder. Ekvationer av
högre grad än 4:e kunna endast i undan*
tagsfall lösas exakt (Abels sats).
4. Grafiska lösningsmetoder
Då det gäller ekvationer av högre grad
tal än 4:e liksom transcendenta ekvatio
ner, t. ex. ex—x = 0, kan man i allmänhet
ej använda algebraiska metoder för lös
ning. För att bestämma reella rötter an
vänder man då i stället grafiska metoder
72
INGENJÖRSHANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
