- Project Runeberg -  Ingenjörshandboken / 1. Allmänna delen /
75

(1947-1948) [MARC]
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Ekvationslösning

Eis. 3/5. Ekvationen ln x–= 0

° x

5. Approximationsmetoder

För att bestämma rötterna till en ekva*
tion f(x)-0 med godtycklig noggrannhet,
finnas flera metoder, som gå ut på att
man approximerar den kurva, som y = /(x)
representerar, med en rät linje i omgiv?
ningen av roten.

Regula falsi. Man bestämmer först ett
approximativt värde på den sökta roten,
t. ex. med grafiska metoden. Sedan tar
man ett annat x=värde omedelbart intill,
helst på andra sidan om roten. Sedan för*
binder man dessa bägge punkter på kur*
van med en rät linje. Dess skärning med
x*axeln ger det förbättrade värdet på
roten. Sedan kan man upprepa samma
process med detta värde osv. Man får på
detta sätt en följd av värden på roten,
som säkert konvergerar mot det rätta
värdet, om de bägge punkterna ligga så
nära varandra, att på mellanliggande bå*
gen y’‡0 och y"=j= 0 och y"4=°o.

Om x0 är det approximativa värdet och
x, den närbelägna punkten, så blir för*
bättringen h:

(Samma formel som vid linjär inter*
polering.)

Ex.: Bestäm approximativt den reella roten
till ekvationen f(x) = x3+6x—2 = 0. Ett

approximativt värde är

Man får:

f\

1

3 ’

= 0,037

3 / 27

/(0,3) = —0,173

Förbättringen för värdet blir: h =

= —0,037

0,033

„ -—0,oo5 8. Det för*

3-5 0,037 + 0,173

bättrade värdet blir x = 0,327 5, vilket är
detsamma som man får genom att lösa
exakt och använda 4*ställiga kubikrots*
tabeller.

Newtons apprcximationsmetod. Regula
falsi innebär geometriskt, att man ersät*
ter kurvan med dess körda mellan de
bägge punkterna. Om man i stället använ*
der tangenten i en punkt, får man New*
tons metod, som stundom ger bättre vär*
den med mindre arbete. Om punkten är
x0, blir förbättringen h:

h =

Jfoo)

/W

Sedan upprepar man processen på det
erhållna värdet osv. De erhållna vär*
dena konvergera mot den sökta roten,
om på bågen mellan punkten och roten
y’=f=0 och y"4=0, y"+oo och om i begyn*
nelsepunkten y och y" ha samma
tecken.

Under dessa förutsättningar gäller
även, att rotens verkliga värde är beläget

ALLMÄNNA DELEN

91

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Sun Dec 10 11:04:10 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/inghb/1/0091.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free