Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Differentialkalkyl
dy
dx2
FF I clFV FF dF dF FF f dFV
dx2\ dy! dxdy dx dy+dy3 \ àx /
y—fVfi.x)] (sammansatt funktion)
y’=f’[(p(x)] • cp’(x)
y"=f"M*)] [<P’(x)V+f’Mx)] ’
y’"=f"Mx)]
+3f’Mx)] <p"(x) <p’(x)+fMx) cf’"(x)
För partiella derivator gäller:
2=f(x, y)
d2z _
dxdy dydx
Ex.: 2 = sin x eos y
dz
—= cosx cosy — = — sin x sin v
dx dy
Fz
dxdy
—— eos x sin y
d’Z
dxdy
= — eos x sin y
Derivationsformler
1. y=(a + fex)"; y’ = fen(a + fex)"’1
2. y = Va2—x2; y’ =
Va2—>
3. y=Va + fex + cx2; y’ = — + 2cx __
2 Va + fex + cx2
4. y:
Va—;
:; y =
2 V (a—x)3
5. y=
Va2—x2’ 7 (a2—x2) Va2—x2
.H/i
—2a2 x
a2 + x2’y (a2 + x2) Va4—x4
7. y = sin ax + cos fex; y’ = a eos ax—
—fe sin fex
8. y = sin"x; y’ = n sin""1 x eos x
9. y = ln[/(x)]; [logaritmisk
derivering av f (x)]
10. y = eax; y’ = aeax
11. y = exxn\ y’ = exxn’1(ri + x)
12. y = xx; y’ = xx(l + ln x)
5. Taylors sats
f{x+h)=Kx)
fMfcj-fM
2!
(n—1)1
fe"
1!
fe" + K
fe2+ ...+
Ä.=—r/(") (x+öfe), där © är ett tal mellan
" n!
0 och 1.
/(x) måste ha derivator t. o. m. n:e ord*
ningen mellan x och x + fe.
9>(x+fe) kan utvecklas i en oändlig Tay*
lorserie, om i (x, x + fe) intervallet /(x) har
derivator av alla ordningar och lim Rn = 0.
n—00
Mac Laurins serie. Denna är ett specialfall
av Taylorserien (fås då x = 0, fe = x) och
gäller alltså under samma betingelser:
/’(O) „ , f (0)
/(*)=/(0)+^x4
2!
Ex. på Taylorutvecklirigar, se s. 79, och
»Approximationsformler». Tab. 1:26 s. 58.
6. Maxima och minima
Funktioner av en variabel. För att bestäm*
ma maxima och minima för en kurva y =
= /(x), som ej har spetsar, undersökes
rötterna till ekvationen f’(x) — 0.
Låt a vara en rot: f(a) = 0. Man under*
söker sedan de högre derivatorna i punk*
ten a. Antag, att den n:e derivatan är den
första som ej försvinner i punkten a.
Är n jämnt, så har funktionen antingen
maximum eller minimum i punkten. Den
har maximum, om /"(a)<0 och minimum,
om /"(a)>0. (Se fig. 6/4, där kurvans
ALLMÄNNA DELEN
93
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
