Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
n udda
n j
ämnt
Fig. 6/4. Maximum och minimum och inflexion.
Fig. 6/5. Balk ur trädstam.
form i omgivningen av punkten är an*
given.)
Är däremot n udda, så har funktionen
varken maximum eller minimum. Då är i
stället punkten a en inflexionspunkt (se
s. 116) jfr fig. 6/4). Kurvan skär där sin
tangent.
Ex.: Skär ur en trädstam med diametern
d ut en balk med maximal bärighet TI
Beteckningar se fig 6/5.
Från mekaniken erhålles formeln:
T = kxy2
y2=d2—x2 enligt Pythagoras sats
T = kx(d2—x2)
T’=k(d2-3x2)
T" = -6kx
Man får minimum, då d2—3x2 — 0} dvs.
2 d2 . iæ -
Funktioner av flera variabler. För att be*
stämma maxima och minima för z = f(x, y),
beräknar man de x* och y*värden, för
vilka ^=0 och^- = 0. Är (x, y) ett sådant
dx dy
värde, sätter man in det i uttrycket
D =
dxdy
?z Pz
dx2 dy"
Blir D<0, så föreligger ett maximum
eller minimum. Ett maximum föreligger,
om och äro båda negativa, medan
dy2
r. . ■ . ••
man far minimum, om ttv och —— äro
dx dy
positiva. Är D>0, är punkten varken
maximum eller minimum.
Om däremot D = 0, måste man under*
söka derivator av högre ordning för att
kunna fälla ett avgörande.
Ex.: Undersök maxima och minima för
funktionen z = x3 + 3xy + y3.
|=3,*+3y=0
dz
dy’
:3x+3y2 = 0
Detta ekvationssystem har lösningarna
0, 0) och (—1, —1)
/ d2z V ?Z d-z .
I jx=0 I^Yd^zd^
ly = 0 \ dxdyj dx2 dy’
Varken maximum eller minimum.
II.
x=—1 l d2z \
y = – 1 \ dxdyj
d2z
Maximum, ty
dx2
d"’Z d2Z
Ihëlty2
, o
och —
dy2
= —27<0
dx’
Maxima och minima vid bivillkor. För att
undersöka maxima och minima hos funk*
tionen f(x1,x2,...,xn), då variablerna äro
underkastade bivillkoren ?i(xlt x2,....
*n) = 0» ?«(*!,*«....,*n)=0 t. o. m. <Pm(xu
Xo,..., xn) = 0, kan man eliminera m av de
94
INGENJÖRSHANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
