Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Integralkalkyl
1. Rätvinkliga koordinater: Kurvan y = y(x)
Längden av ett bågdement är: ds =
= Vdx2+dy- (se fig. 7/5).
Bågens längd blir alltså:
b
<=A=f\J
=f Vi+y’2 dx
a
2. Parameterform: Kurvan x = x(t),y-y(t)
Längden av bågelementet är:
cfs=Vx’(02+y’(f)2 dt
Bågens längd blir alltså:
fa fa__
y~c/s=/Vx^+y’2 dt
fi fi
3. Polära koordinater: x — r(<p)cos <p, y —
= r(<p)sin (p\
ds2 — [rs(qp)+r’2(qp)] d<p2
dr2
/cfe=/V;r2+r’2 ,y/r2(^)+lc/r
4. Längden av en kurva i rymden, se s. 137.
Yta i planet. (Jfr s. 162). Den av ordinatan
till en kurva y = y(x) överstrukna ytan
(fig. 7/6) kan skrivas:
F=fy{x)dx
*i
Den av abskissan överstrukna ytan (fig.
7/6) är:
)’a
F=fx(y)dy
Yi
Observera att dessa båda ytor räknas
negativa, om ordinatan resp. abskissan är
negativ.
(Sfr
t?*
W *
F/g. 7/5.
Fig. 7/6.
Fig. 7/5. Bågelementets längd.
Fig. 7/6. Ytberäkning.
Den av radius vektor (polära koordina*
ter) överstrukna ytan (fig. 7/6) är
1
Ffr\v)d<P
Vi
Är kurvan given i parameterform: x =
= x(f), y=y(f), så är den mellan kurvan
fa
och y^axeln belägna ytan F=f x(t)y’(t)dt
fi
och den mellan kurvan och x*axeln be*
fa
lägna ytan F=—fy(t)x(t)dt.
ti
Ytan inom en sluten kurva x = x(f), y =
=y(f), 0<t<T:
T T
F=fx(t)y(t)dt= —J~y(t)x’(t)dt=
o o
! T
=-rf(xy’—yx’) dt
z o
under den förutsättning, att kurvan ej
skär sig själv.
Ex.: Beräkna ytan mellan x*axeln och
kurvan y — xn ln x. (Fig. 7/7.)
F=f !C" ln xdx =
xn+l
-/i
xn+l JL
n+1 ’ x
1
dx—
n+1
ln x
x"+l
n+1 (n+1)2
xn+! ln x
lim
n+1
1
(n+1)
(Ytan räknas negativ!)
(n+1)2
ALLMÄNNA DELEN
107
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
