Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Differentialekvationer - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Differentialekvationer
Kap. 8. Differentialekvationer
En ekvation för bestämning av en obe*
kant funktion, där förutom funktionen
även dennas derivator ingår, kallas en
differentialekvation. Den kan skrivas:
jP[jc, y, y’, y",... y(")]=0 och säges vara av
n;e ordningen, om den högsta ingående
derivatan är den n:e. Allmänna lösningen
till en ekvation av n:e ordningen innehål*
ler n godtyckliga konstanter. En lösning
utan godtyckliga konstanter eller då dessa
givits bestämda värden kallas partikulär.
i. Ekvationer av i:a ordningen
Separabla ekvationer. Dessa äro av formen
qp(x)dx = *p(y)dy
Man integrerar direkt:
Mx)dx=My)dy+C
x dy+ny dx=0
Ex.:
dy dx
- —— n —-
y x
dx
dy
+C
C = lnc
ln y = —n ln x + ln c = ln
x"
y=
xn
Homogena ekvationer. Dessa kunna skrivas
’"li
Man substituerar:
— — z\ dy=zdx + xdz
x
z+x^m
*4^/(z)-z
dx
dz
f{z)-z
X
Denna ekvation är separabel.
dz
Man får
Ex.:
m-z
dy _x+y
= ln x+ C
y
dx x—y’ Z x
dx dx ’ dx 1—z
- 1 + z2 dz • (1—z) _ dx
dx X~ 1—z ’ 1 + z2 — x
/dz C zdz Cdx , .
arctg z—~ ln(l +z2) =ln x + ln c
arctgz = lncx V 1+z2, dvs.
arctg c • Vx2+y2
Linjära ekvationer: (linjära, dvs. av l:a
graden i y och dess derivator).
dv
~dx+P(x)y+q(x)=0
Man löser först den »homogena» ekva*
tionen:
Wy=o
Denna är separabel:
p(x)dx; logy = —J~p(x)dx +log c
y=ce-fpMdx
För att lösa den allmänna ekvationen,
försöker man bestämma c som funktion
-fp(x)dx
av x, så att c(x)e blir en lösning.
Genom insättning fås:
-fp(x)dx
c’(x)e +q(x) = 0
•r \ t \ Mx)dx
c(x) = — q(x)e
c{x)=—J~q(x)/P^ ^ dx+C
ALLMÄNNA DELEN
109
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
