Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Analytisk plangeometri
2. Räta linjen och planet
Ekvationen för ett plan kan skrivas:
Ax+By+Cz+D=0
En ekvation av 1 :a graden representerar
alltid ett plan. Riktningscosinerna för pla*
nets normal äro:
A B
± VA2+B2 + C2 ’ ± \/A2 + B2 + C2’
C
± \/A2+B2+C2
Tecknet framför roten väljes så, att
D
±VA2+B2+O alltid är P°sitiv- Däris
genom erhålles normalen åt planets »posi*
tiva» sida.
Planets normalform (erhålles genom divi*
sion m ed + VÆ+& + C* (x eos «+y
+y eos ß+z eos y = p). Rotens tecken väl?
jes, så att p blir positiv, a, ß och y äro
vinklar, som planets normal bildar med
koordinataxlarna och p är längden av
normalen från origo till planet.
Avståndet från en punkt till ett plan. Pia*
nets ekvation skrives på normalform:
x eos a + y eos ß+z eos y—p — O och punk*
tens koordinater sättes in i ekvationen.
Då blir avståndet lika med ekvationens
vänstra led, med tecknet —, om punkt och
origo ligga på samma sida om planet,
eljest tecknet +.
Ex.: Avståndet från punkten (1,—3,2) till
planet x+2y—2z + 6 = 0.
Planets ekvation i normalform:
x+2y—2z+6 . , 1-3-2-2-2 + 6 ,
–-=3-= ° d=-—3-=1
Punkten och origo ligga på olika sidor
om planet.
Vinkeln mellan två plan. Vinkeln $ mel*
lan planen
Ax+By + Cz+D — 0 och
A^+ßiy+Qz+D^O
bestämmes av ekvationen:
AA1+BBl + CC1
V Aj2 + B,2 + C!2 VA2+B2 + C2
Ett plan genom en punkt. Går planet ge*
nom punkten (x„, y0, z0),blir dess ekvation:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
A, B och C äro här godtyckliga konstan*
ter. Har planet dessutom normal med rikU
ningsvinklarna a, ß och y, blir dess ekvation:
(x—x0) eos a+(y—y0) eos ß+
+ (z—z0) eos y = 0
Räta linjen kan betraktas som skärningen
mellan två plan och representeras alltså av
två 1 :a*gradsekvationer:
Ax+By+Cz+D = 0 och
AiX+Bty+Qz+D^O
Genom elimination kan också skrivas:
y = px+q, z = p1x + q1
Med användning av en parameter A får
ekvationen för den räta linjen genom
punkten P0(*o. yo. zo) med riktningscosi*
nerna a, b, c formen:
x — x0 + a^
y=y0+W
z = z0 + cA
Elimineras parametern A erhålles:
x—xn_y—yn_z—zn
abc
Ex.: Räta linjen genom punkten (1,2,3)
12 2
med riktningscosinerna -y, -y,—kan
skrivas:
x=l + ~, y=2 + y-, z = 3-~-
ALLMÄNNA DELEN
12 5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
