Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Analytisk plangeometri
Fig. U/7. Fig. U/8. Fig. U/9.
Fig. 11/7. Könen.
Fig. 11/8. Elliptiska pavaboloiden.
Fig. 11/9. Hyperboliska paraboloiden.
5. Elliptiska paraboloiden (Fig. 11/8):
—+—=2z
p q
6. Hyperboliska paraboloiden (Fig. 11/9):
— — — = 2z
P q
7. Undersökning av den allmänna
andra-gradsytan.
Ekvation:
a ux2 + a22y2 + a33z2 + la23yz + 2a31zx+
+ 2 a12xy + 2a14x+2a24y + 2a34 z + a44 = 0
Sätt: D =
3n a12 a13 a14
A=
311 ai2 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a2\ a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a4S a44
(Här är ap(] = aqp)
S — an + a22 + a33, T = a22a33 + a33au + a11a22
a23~ a31~ a12"
Klassifikation:
I. D<0
a) SA>0, T>0: ellipsoid
b) 5A och T ej bägge>0: tvåmantlig
hyperboloid
c) A = 0, f>0: elliptisk paraboloid
II. D>0
a) 5A och T ej bägge>0: enmantlig
hyperboloid
b) A = 0, T<0: hyperbolisk parabo*
loid
III. D = 0
a) A+0, 5 id och T ej bägge>0: kon
b) A=0: cylinder.
Reduktion till normalform:
Medelpunkten fås ur ekv.*systemet:
Ianx + a12y+a13z + a14 = 0
a21x + a22y+a23z + a24 = 0
a3ix+a32y+a33z + a34 = 0
a) A=f=0. Ekv. för ytan, efter en parallell?
förskjutning av koord.*syst. så att me*
delpunkten kommer i origo:
anx2 + a22y2 + a33z2+2a12xy + 2a13xz -f
+ 2a23yz + a = 0 där a = ^
Efter en vridning av koord.*systemet,
så att ytans axlar sammanfalla med
koord.*axlarna blir ytans ekv.:
s^* + s2y2 + s3z2 + a = 0
(Ellipsoid, hyperboloid eller kon) där sx,
s9 och sa äro rötterna till sekularekv.:
~s a12
a22-
a32
Sekularekv. har alltid tre reella rötter
(ej nödvändigt olika).
b) A=0. Minst en av sekularekvationens
rötter är = 0. Om systemet (E) ej har
någon lösning (x, y,z), dvs. ytan saknar
medelpunkt, om dessutom s4 och s2 äro
=‡=0, kan ytans ekv. genom parallellför*
flyttning och vridning av koord.*syste*
met anta formen
s4x2 + s2y2 + p • z = 0 (Paraboloid)
Eljest betyder ytan en cylinder och
kan då reduceras till någon av formerna
s1x2 + s2y2 + a = 0 (elliptisk eller hyper*
bolisk cylinder) eller
stx2 + ßz = 0 (parabolisk cylinder)
(Anm. Andragradsekv., som representerar
ytan, kan ev. utgöra produkten av två
lineära uttryck, då betecknas ytan som ur*
artad och betyder två plan.)
an-
a21
asi
a13
-s a23
a.in s
= 0
ALLMÄNNA DELEN
12 5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
