Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Praktiska och numeriska räknemetoder
Lagranges interpoleringsformel
O—*i)(*—x2) ■ ■ ■ (x—xn)
y=y0
(*o *i)Oo ^2) • • • (*o xn)
(x—x0) (x—x2) ... (x—xn) ^
+ Vl (x1—x0)(x1—x2) ... (*!—Xn)
(x—x0)(x—xt) ... (x—xn.{)
+ –- + yn (x;—x0)(x„—Xi) . .. (xn—xn.x)
Detta kan också skrivas på följande sätt:
Newtons interpoleringsformel
y = goOo) + (x—x0)g(x1) +
+ O—*o) (*—*i )g2(x2) +
+ (x—x0) (x xj) (x—x,)g3(x3) +
+...+ (x—x„)(x—Xj) ... (x—x„.1)gn(x„)
g(x) bestäms av relationerna:
»M=y;
gs(x) :
gi(x)—g i(xt)
osv.
För beräkning av gv,(xl?) användes följande
schema:
*o y0= goOo)
Yi = go(*i) gi(*i)
x, y2 = go(,x2) gi(Xg) g2(x2)
*3 ys= go (.X3) gi(x3) g2(x3) g3(x3)
x4 y4= go(x4) gi(x4) g2(x4) g3(x4) g4(x4)
I varje spalt står differensen mellan mot*
svarande term i spalten närmast till väns*
ter, dividerat med differensen mellan x*vär*
dena.
Funktionen given i punkter med lika
x-avstånd
Då funktionsvärdena t. ex. hämtas ur
tabell, erhållas x*värdena på lika avstånd.
Därvid förenklas Newtons interpolerings*
formel. Antag, att x*värdena äro:
x0, x1 = x0 + h, x^xi + h,
x3 = x2 + h..... xn = xn.x+h
Då övergå kvantiteterna gv(x) i diffe*
renserna (s. 91) och man får schemat:
xq
x2
x4
y0 \
* \ ) Ay0 \
1 Ay0
ya i %\ 1 fyi i *
* ’ Ay] j Aly*’
t A3Yo \
Yi ’ " yo
A4y0
Här ^y0 = yi—y0, A2y0=AYi—aYo osv.
Newtons formel blir:
I A2Yo (x—x0)(x—x1)
^ h* 2! ^
A"Yo ’*o)0—*l) • • • (*—■*n-l)
+ . . .+
h"
Ex.: Bestäm det polynom y i 3:e graden
i x, som interpolerar den funktion, som i
punkterna 0,6,0,7, 0,8 och 0,9 antar värdena
1,092 2; 1,126 9; 1,167 9; 1,216 2 [funktionen
H(X) s. 122].
1,092 2
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0,034 7 n
1,126 9 - 0,006 3
0,041 0 ’ 0,001 0
1,167 9 ’ 0,007 3
0,048 3
1,216 2
Polynomet blir: y(x)=l,092 2+
+0,347 (x—0,6)+0,315 (x—0,6) (x-0,7) +
+0,167 (x—0,6) (x—0,7) (x—0,8)
I punkten 0,85 blir funktionsvärdet l,i90 8.
Genom linjär interpolering skulle erhål*
litS 1,192 1.
Användning av interpoleringsformlerna.
Dessa formler användas först och främst
till beräkningen av funktionsvärden mellan
uppgivna värdena. Ett annat viktigt använd*
ningsområde är numerisk integrering och
derivering. Man approximerar kurvan eller
funktionen med ett polynom och integrerar
eller deriverar sedan.
Ex.: Bestäm approximativt derivatan för
ALLMÄNNA DELEN
159
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
