Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
8 T. BONNESEN:
Vi kan nu gaa over til et konvekst Omraade begrænset af
en vilkaarlig Kurve. Dennes Perimeter p og Areal / kan altid
bestemmes som Grænseværdierne for Perimeter/" og Areal fn af
en omskreven Polygon, hvis Sider er Støttelinier til Kurven.
Radierne R i Kurvens mindste Ydercirkel og r i dens største
Indercirkel er Grænseværdier for de tilsvarende Radier Rn og
r n i Polygonen. Man har derfor
p
Følgelig kan - – f kun blive o, naar R - r, og da falder
4^
Kurven sammen med de to Cirkler. Hermed er bevist, at af
alle konvekse Kurver med samme Perimeter/ har Cirklen alene
det største Areal.
For at faa Oplysning om en ukonveks Kurve med bestemt
Længde /, og som indeslutter et Areal f, betragter vi dens
konvekse Hylster med Perimeter p^ og Areal fl. Da /
og/</i» er - – /> - - /i, og dette viser, at Uligheden
(7) ogsaa gælder for et ukonvekst Omraade, i hvert Fald, naar
’R og r betegner Radierne for Yder- og Indercirklerne til dets
konvekse Hylster.
Af Cirklens isoperimetriske Maksimalegenskab følger
umiddelbart Sætningen: Mellem alle Figurer, hvis Perimeter er
sammensat af et givet Liniestykke a og en vilkaarlig Linie L, har
Cirkelsegmentet det største Areal for ligestore Længder af L.
Dette beviser Steiner saaledes (Sur le maximum et le minimum
des figures- .., Grelles Journal Bd. 24 (1842) p. 119): Lad L
have en vilkaarlig Form og sammen med a danne Perimeteren
for Figuren aL. Man kan da altid paa a konstruere et
Cirkelsegment, - hvis Bue a er lig L, paa samme Side af a som L.
Vi fuldstændiggør denne Cirkel og betegner den anden Bue
med ß. Da er Cirklen med Perimeteren a -f- ß større end den
Figur, som er begrænset af Z+|3, saaledes at aa,.-\-afi>aL~}-afi,
altsaa aa^>aL.
Vi vil nu gaa over til at vise, at Lighedstegnet i (7) kun
kan gælde, naar R - r, det vil sige, naar Figuren er en
Cirkel.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
