Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
BEVIS FOR SÆTNINGEN O. S. V.
Formlerne (2) og (3), som er udledet for konvekse
Polygoner, ses ved Grænseovergang at gælde for vilkaarlige
konvekse Omraader, og den hele Udvikling viser, at man for et
saadant maa have
Rp^iiR*+f, rp^7ir*+f,
og da (7) udtrykker, at R - r ^ Intervallet mellem Rødderne
i Polynomiet jrp2 + p/ +/, vil Lighedstegnet i (7) kun gælde,
naar samtidig
.Rp = nR*+f, rp = 7ir*+f,
hvilket medfører
p=. n(R + r), /= TI Rr.
Lad os tænke os, at der eksisterer en saadan Kurve K, hvis
mindste Ydercirkel og største Indercirkel C og c er forskellige.
Betragtes samtidig en anden Kurve K^ med samme C og c
og med Perimeter p± =/ og Areal f^ faar man Rp ^ nR2 -\-fi
eller /"t ^ f. Dette gælder, selv om K± ikke er konveks, naar
C og c hører til dens konvekse Hylster. Vi kan nu vise, at
K maa være sammensat af Liniestykker og Cirkelbuer. I
modsat Fald vil der paa en Bue mellem C og c findes et
indre Punkt Q, hvis Omegn ikke er ret eller cirkulær, og vi
kan da paa denne vælge to Punkter P og R paa hver Side
af Q saa nær ved P, at den Cirkelbue PR, der har samme
Længde som PQR, falder imellem C og c. Erstattes PQR
med denne Cirkelbue, fremkommer en ny Kurve K± med
samme Perimeter som K, men med større Areal /x. Den
saaledes fremkomne Kurve K± har nu samme C og c som K.
Ovenfor fandt vi for en saadan Kurve/^ <;/", og dette er i
Modstrid med det her fundne Resultat f\ ^>f.
Æ’s Buer maa i Følge Sagens Natur røre c. Vi vil
undersøge, hvorledes de ligger i Forhold til C. Hvis de ikke
berører C, men to Buer danner et Knæk i et Punkt paa C, vil
vi konstruere den ydre Parallelkurve K’ til K i Afstanden pv
K’ er sammensat paa samme Maade som K, og dens
Yder-og Indercirkel har Radierne R + p og r -j- p. Endvidere finder
man dens Perimeter P og Areal F bestemt ved
P= n\(R -f- p) + (r -f- p)}’ F = n (R + p) (r +.p).
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
