Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
BEVIS FOR SÆTNINGEN O. S. V. II
flade, med vilkaarlig Frembringerretning M. Et Normalsnit til
Cylinderen er en konveks Figur med Perimeter / og Areal /.
Gennem Centrum for en fast Kugle med Radius i, lægges en
Halvlinie med Retning M, den skærer Kuglen i et Punkt m,
og det ’til m svarende Arealelement paa Kuglen betegnes med
dw. I Følge en Sætning af Cauchy*} kan Legemets Overflade
udtrykkes ved Formlen
hvor Integralet som overalt i det følgende udstrækkes over
hele Kuglefladen. Det er ikke vanskeligt at konstatere
Rigtigheden af denne Formel. Thi betragter man først et plant
Areal^4 og dets Projektion A’ paa en Plan vinkelret paa
Retningen M, finder man ved direkte Udregning, at
A = - {A’dM
2TtJ
og Udtrykket for o følger da heraf ved Grænseovergang, idet
2 f er Summen af Projektionerne af Fladeelementerne paa o.
Sammen med o vil vi betragte dens ydre Parallelflade O i
Afstanden p, det vil sige Indhyllingsfladen for en -Kugle med
Radius p og Centrum paa o. Projiceres O paa den samme
Plan som o, faar man et konvekst Omraade med Areal F
bestemt ved
og ved Cauchys Integral finder man da
O = - \2Fdw = 4jrp2 + 2pk + o,
2JT J
hvor
k vil vi kalde den givne Flades Konturintegral. Udtrykket for
O er af samme Form som F, og det er nu Hensigten at vise, at
’) A. Cauchy, Note sur divers théorémes relatifs ä la rectification des
cour-bes et ä la quadrature des surfaces. Paris, Comptes rendus t. 13. (1841)
p. 1060-65.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
