- Project Runeberg -  Matematisk Tidsskrift / B. Aargang 1921 /
13

(1919-1922)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

BEVIS FOR SÆTNINGEN O. S. V. 13

Her er at bemærke, at man meget vei kan have rM = Rm,
for andre Legemer end Kuglen. Dette er f. Eks. Tilfældet
ved et Legeme begrænset af en Omdrejningscylinderflade og
to Halvkugler. Men man har kun k* - 4pø = o for Kuglens
Vedkommende. Altsaa :

Blandt alle konvekse Legemer med samme
Overflade har Kuglen det mindste Konturintegral.

Til Slut en Bemærkning om Betydningen af Konturintegralet
k. Parallelfladen til et Polyeder i Afstanden p er sammensat
af de parallelforskudte Sideflader, af Udsnit i Cylinderflader
med Radius p og Kanterne til Akser, og endelig af Udsnit i
Kugler med Centrer i Hjørnespidserne. Summen af disse
sidste er qnp2. Betegnes Længden af en Kant med a og
Nabovinklen til Polyedrets Rumvinkel ved denne Kant med #,
er Arealet af det tilsvarende Cylinderudsnit au. Sættes
ILau = 2k, bliver

O = 4Jrp2 -f- 2/£p + o.

Summen af Produkterne af Kant og ydre Rumvinkel er
altsaa lig det dobbelte Konturintegral. Kantvinkelproduktet
er indført af Steiner1}, der dog ikke blot behandler
Parallelflader til Polyedre, men ogsaa til Flader med kontinuert
Krumning. For saadanne bliver

7, ____ lif I

K - -k\\––––––-

J \ r TI

hvor r og r± er Fladens Hovedkrumningsradier, altsaa
Integralet af Middelkrumningen.

2i. Marts 1921.

Anm. Efter at denne Afhandling var gaaet i Trykken, er jeg blevet
opmærksom paa, at Felix Beinstcin i en Afhandling »Über die isoperimetrische
Eigenschaft des Kreises auf der Kugel und in der Ebene«, Math. Ånn. Bd.
60 (1905) ved en smuk Undersøgelse af Problemet paa Kuglefladen og
Grænseovergang til Planen har fundet en Ulighed af samme Förrn som (8). hvor der
dog iStedet for Koefficienten 7i paa højre Side staar i : 2 (i-j-2w)*. Forholdet
mellem de to Koefficienter er 320, 6. I denne Sammenhæng bemærkes, at
Sætningen S. 13 ikke kan bevises ved Hjælp af (8), men er udledet paa
Grundlag af Sætningerne S. 2 og S. 5.

J. Steiner, Über parallele Flächen. Berlin, Bericht 1840, p. 114-18.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Sun Dec 10 16:30:58 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/matetids/1921b/0019.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free