Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
BESTIMMUNG EINER GANZEN FUNKTION O. S. V. \J
Betrachten wir zunächst den Fall, dass die beiden ganzen
Funktionen G (s) und g (z) in zweierlei Stellen, in ihren
a-und ^-Stellen übereinstimmen, a ^ b. Dann ist
G (z}-a-= ep(^(g(z) - a), G(z}-b = e<*(*> (g(z) - b\ (i)
wo P (z) und Q (z] ganze Funktionen. Sind G(z) und g (z] von
endlicher Ordnung, so kann man sogar behaupten, dass P (z)
und Q (z) ganze rationale Funktionen sind1). Es folgt aus (i)
__
b - a~ *ööO - ep& ’ a - b ~~ ep^ - <?<?(*> ’
Die rechten Seiten in (2) müssen ganze Funktionen sein,
d. h. die Nullstellen des Nenners müssen unter den Nullstellen
des Zählers enthalten sein. Das ist zum Beispiel der Fall,
wenn P (z] - my [z], Q(z}~ (m - i)y (#), cp (z) eine ganze
Funktion, m eine ganze Zahl ist, jedoch m<o,m<
Sind G (2) und g (z) von endlicher Ordnung, so müssen
die beiden Polynome P (z) und Q (z) den gleichen Grad
haben, behaupte ich. Denn wäre P (z) vom Grade m, Q (z)
vom Grade ;z und m<in, so hätten die Nullstellen von ep(z) - eQ(*)
den Grenzexponenten n, diejenigen von ep^-i den
Grenzexponenten m, nach bekannten Sätzen2). Da n >. m, könnten die
ersteren unmöglich nur einen Teil der letzteren ausmachen,
und die zweitgenannte Funktion unter (2) könnte keine ganze
sein.
Gehn wir nach dieser Feststellung zum Falle über, wo G (z]
und g (z)’ in dreierlei Stellen übereinstimmen, in ihren a-,
b-und ^-Stellen, wo a, b, c drei verschiedene Zahlen. Dann gibt
es drei Polynome P(z\ Qz\R(z}, so dass
G (z) - a = epW (g(z) - #), G (z) - b = e(
- c)
Durch Elimination der drei Grossen G(z\ g(z)3 i aus den 3
inbezug auf sie homogenen linearen Gleichungen (3) ergibt sich
l) VgK z. B. A. Pringsheim, Elementare Theorie der ganzen transcendenten
Funktionen von endlicher Ordnung, Mathematische Annalen, Bd. 58 S.
257-342, insbesondere S. 327.
~) Pringsheirn a.a.O.S.334.
Matern. Tidsskr. ß. 1921. 2
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
