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18 O.PÖLYA:
(b _ C) eQ+R + (,._ fl) ^+P + (# - £ ( ,
(£ _ <;) ^P + (c - a) e$ + (a - b] eR = o. J
Bekannt ist jedoch folgende Tatsache1): sind q, <:2, £3 . . . ^
Konstanten und /V(#), jF2 (*)» . * ’^n(z] Polynome, so beschaffen,
dass Fk [z] - FI (z) keine Konstante ist, wenn k < /, so folgt
aus dem Bestehen der in z identischen Gleichung
Cl e*\(*) 4- ^ eF*(z) +–––1_ fn^niz) = 0<
dass
^ = C% =. . . . = Cn = O.
Wie ist dies mit dem Bestehen von (4) verträglich?
Insbesondere müssen wir beachten, dass P (z], Q (z], R (z) von gleichem
Grade sind. Bezeichnen wir diesen Grad mit m und die
höchsten Koeffizienten mit a, ß, y, so dass
/>(*) = os*+..-., ö(*)=ß*m + "-, Æ(£) = Y£m+..., (5)
a =jr o, ß =(= o, y =j= o, (6)
m^ i. (7)
(7) ist notwendig; denn wenn m - o, sind G (s) und g (z)
Konstanten oder einander identisch gleich.
In dem System der höchsten Koeffizienten
ß+Y T+a ’ a+ß \ .
ß T |U
der 6 Exponenten, die in (4) vorkommen, müssen zunächst
mindestens 2 untereinander gleich sein. Die Übereinstimmung
zweier Zahlen in der ersten Zeile des Schema (8) hat die
Übereinstimmung der beiden darunter stehenden zu Folge.
Es muss entweder eine Übereinstimmung einer Zahl der ersten
Zeile mit der zweiten stattfinden, wie
ß + T = a A)
oder eine zwischen zwei Zahlen derselben Zeile,, wie
P = Y. B)
Die Bezeichnung kann als passend gewählt vorausgesetzt
werden, und wir brauchen tatsächlich nur die beiden
Möglichkeiten A) und B) zu diskutieren.
Pringsheim a. a. O. S. 289.
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