- Project Runeberg -  Matematisk Tidsskrift / B. Aargang 1921 /
33

(1919-1922)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. 3 J

Sider stykkevis lige store, da vil ogsaa de andre tilsvarende
Vinkler være stykkevis lige store.

Angaaende Indholdet af Huberts øvrige Axiomer om
Kongruens skal her kun bemærkes, at.de i Hovedsagen gaar ud
paa den entydige Afsætning af et Liniestykke ud fra et
bestemt Punkt og til en bestemt Side paa en ret Linie gennem
Punktet, og den entydige Afsætning af en Vinkel ud fra ert
given Halvlinie og til en bestemt Side, samt endelig for
Liniestykkers Vedkommende Euklids Størrelsesaxiom 2.

12. Gangen i Huberts Bevis er nu følgende:
Først vises, at naar 2 Vinkler a og ß er lige store, er
Nabovinklerne det ogsaa. Beviset føres ved, at man danner
2 Par parvis kongruente Trekanter, hvori de to Vinkler og
deres Nabovinkler forekommer som ensliggende Vinkler.
Derefter gennemføres Beviset i Tilknytning til Legendre’s Figur
saaledes: Vinklerne A CD, BCD\ EGH, F G fl Gr rette. Man
afsætter A CK - EG H. Man har da efter den foregaaende
Sætning ogsaa BCK = FGH, altsaa A CK = BCK. Derefter
kan man ved Brug af Euklids Størrelsesaksiomer, anvendt paa
Vinkler, straks se, at CK ikke kan være forskellig fra CD.
Hilbert bruger ikke selve disse Størrelsesaksiomer for Vinkler,,
men beviser en dertil svarende Kendsgerning (at naar en
Vinkel er delt i 2 andre, da vil en dermed kongruent Vinkel
kunne deles i 2 med disse kongruente Vinkler)1). Men herpaa
behøver vi ikke at gaa ind. Hovedsagen er den, at det
gennem det Legendre-Hilbert’ske Bevis virkelig er godtgjort,
at Euklid kunde undvære Postulat IV, naar han forudsætter
Flytningspostulatet, hvad han jo alligevel maa gøre. Men
ganske vist, Beviset kræver, at Flytningspostulatet stilles saa
stærkt i Forgrunden, at det kommer til at bære saa godt som
alle Beviser. Den Økonomi, som Euklid har lagt Vægt paa,
og som blandt andet giver sig til Kende ved, at han kun
bruger Flytning, naar det ikke lykkes ham at undgaa det,,
vilde altsaa gaa tabt. Det er derfor ikke sikkert, at Euklid
havde følt sig tilfreds med dette Bevis. Men i hvert Fald
maa man gøre sig klart, at Beviset ikke er let.

Desuden opstiller Hilbert i Satz 14 den til Euklids Størrelsesaksiom
2-svarende Sætning for Vinkler. Formuleringen er imidlertid ukorrekt.
Beviset er ikke gennemført, og der er navnlig ikke taget Hensyn til det
Tilfælde, hvor der optræder »lige Vinkler«.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Sun Dec 10 16:30:58 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/matetids/1921b/0039.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free