Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
T. BONNESEN : CIRKLENS ISOP. ULIGHED FAA KUGLEFLADEN. 4Q<
fladen, som har samme Perimeter / som K, have et større
Areal, hvilket udtrykkes ved Uligheden
Af =(2* -/)*+/« >(2*;)a. (l>
Kun for Cirklens Vedkommende er M= (27i)2.
Hensigten med det følgende er at bevise Uligheden
M= (2JI -f)* + /* ^ (2Jt)* l + tg» - ~\ , (2)
hvor R er sfærisk Radius i den mindste Cirkel C, som
indeholder K, r Radius i den største Cirkel c, som indesluttes
af K. Om C og c bemærkes, at de har mindst 2 Punkter
fælles med K og af denne deles i Buer ^ 180°.
Vi gaar ud fra en konveks Polygon K og konstruerer dens
ydre Parallelkurve K^ i Afstanden p <^ - Denne ukonvekse
2
Kurve er sammensat af Cirkelbuer med Radius p og Centrer
i Vinkelspidserne og af andre Cirkelbuer med en Side til
Ækvator og i Afstanden p fra denne. For Arealet F = F(p)
og Perimeteren P=P(p} af K9 kan man direkte beregne
følgende Udtryk
27i - F(p) = (27i - /) cos p - / sin p, (3)
= (27T - /) sin p -f p cos p, (4)
det man blot behøver at benytte de i Begyndelsen fundne
Buelængder og Arealer og tillige udtrykke f ved
Vinkelsummen i K. Ved Grænseovergang ses disse Formler at
gælde for alle konvekse Kurver. Det bemærkes, at Kp for
71
p < - ikke faar Dobbeltpunkter, og at (3) giver det geome-
triske Areal af K.
Største Indercirkel cp og mindste Ydercirkel Cp til K9 er
koncentriske med henholdsvis c og C og har Radierne r + p
og R + P-
Sættes først p - – R og derefter p = –- r, bliver Cp og
c Storcirkler, som af K deles i Buer, der er 5L TI, og
Perimetrene af de tilsvarende K9 er derfor større end Storcirklen.
Af (4) følger derfor
(271 - f) cos R + / sin R > 2:1,
(271 - /) COS r -j-/ sm r ^> 2JU-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
