Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
5 2 HARALD BOHR :
Det er klart, at dersom en Række (i) er absolut
konvergent i et Punkt j0 = ö0 + zV0> da er den ogsaa absolut
konvergent i ethvert Punkt s = ö -f it, for hvilket d ^ d0; thi
for ö ^ ö0 er jo
ane~~*ns < ane~~*nso .
Heraf følger, at en Dirichletsk Række (i) - hvis den da ikke
specielt er konvergent for alle Værdier af s eller ikke er
konvergent for nogen Værdi af s - besidder en absolut
Konvergensabscisse ÖA, d. v. s. der findes et Tal OA saaledes,
at(i) er absolut konvergent for d ^> OA, nien ikke for <3 < <3A.
De to førnævnte specielle Tilfælde inddrages naturligt under
det almindelige Tilfælde, nemlig ved henholdsvis at sætte
CA = - oo og CA = + oo.
Langt dybere end denne Sætning ligger den bekendte
Sætning af Dr. Jensen1), i Følge hvilken ogsaa selve
Konvergens-omraadet for Rækken (i) er en Halvplan begrænset af og
liggende til højre for en ret Linie c - CB vinkelret paa den reelle
Akse. En Dirichletsk Række (i) har altsaa ikke blot en
absolut Konvergensabscisse CA, rnen ogsaa en (betinget)
Konvergensabscisse <3ß. Det er klart, at <3B ^ CA, og det kan
f. Eks. indtræffe, at CA = + oo, medens CB < oo, altsaa at
Rækken besidder et Konvergensomraade uden nogetsteds at
være absolut konvergent.
Som først bevist af den franske Matematiker Cahen er
enhver Dirichletsk Række ligelig konvergent i ethvert
endeligt Omraade, der ligger helt tilhøjre for Konvergenslinien
ö = CB. Derimod behøver Rækken ikke at være ligelig
konvergent i hele Halvplanen C > CB + e (e > o), og jeg har
derfor i en tidligere Afhandling2) indført en tredje
Konvergensabscisse, den ligelige Konvergensabscisse <3C, defineret
som nedre Grænse for de Abscisser <30, for hvilke det gælder,
at Rækken er ligelig konvergent i hele Halvplanen ö >- <30
(og ikke blot i enhver begrænset Del deraf). Idet (i)
øjensynlig er ligelig konvergent i enhver Halvplan ö > <3A + £,
hvor vi jo har en konvergent Majorantrække i X an e~ n(°A+8)?
er <3c ^ ÖA, og der gælder altsaa Ulighederne <3ß ^ cc ^ <3A.
1) J. L. W. V. Jensen, Om Rækkers Konvergens. Tidsskrift for Matematik,
Ser. 5, Bd. 2, 1084, Side 70.
2) Über die gleichmässige Konvergenz Dirichletscher Reihen. Grelles
Journal Bd. 143, Side 203.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
