Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
54 HARALD BOHR:
slutte saaledes: Den Dirichletske Række, der fremstiller
Funktionen R(s\ nemlig Rækken
oe oo
n=rA’4-l n=N+l
besidder en ligelig Konvergenshalvplan, fordi Rækken (i) jo
er forudsat at gøre det, og paa Grund af denne ligelige
Konvergens af Rækken (3) for alle Værdier s med tilstrækkelig
stor Abscisse ö, har vi derfor Lov til at udføre
Grænseovergangen a - >- oo ved at gaa til Grænsen med hvert enkelt Led
i (3) for sig, hvorved vi straks finder R(s)-*~o, idet enhver
af Eksponenterne An- AN(/J = N-\- i, N+ 2, . . .) jo er
positiv. Dette vilde imidlertid ikke være en tilladelig
Slutnings-maade, og Fejlen ligger naturligvis deri, at vi ud fra den
ligelige Konvergens af den givne Række (i) for ö > oc + 8, eller
hvad der er det samme af Rækken
(4)
ikke uden videre kan slutte, at Rækken (3) ogsaa er ligelig
konvergent for ö > oc + e, idet den Faktor e N*, hvormed vi
har multipliceret (4) for at komme til (3), jo ikke er begrænset
i Halvplanen ö >> øc + &, men tværtimod vokser ud over alle
Grænser for ö->oo. Vi kan imidlertid vise - og hermed vil
da ogsaa selve vor Paastand være bevist - at Rækken (3)
dog i Virkeligheden vil være ligelig konvergent i Halvplanen
ö > c>c + B. Hertil benytter vi en Hjælpesætning, som jeg
ved anden Lejlighed1) har bevist, og som i sig selv
frembyder en vis Interesse, nemlig at dersom en Dirichletsk
Række vides at være ligelig konvergent blot paa en
enkelt lodret Linie ö - d0 (naturligvis paa hele Linien og
ikke blot paa ethvert begrænset Stykke af den), da vil Ræk-
1) L arstellung der gleichmässigen Konvergenzabszisse einer Dirichletschen
Reihe als Funktion der Koeffizienten der Reihe. Archiv der Math, und
Phys., Række III, Bd. XXI, S. 326. I denne Afhandling bevises den
nævnte Hjælpesætning ganske yist kun for de egentlige Dirichletske
Rækker \ - (der svarer til An = log ») , men Beviset gælder uforandret
^LJ "
i det almindelige Tilfælde.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
