Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
LITTERATURANMELDELSER. 5 £
svarende anden Flade, frembyder der sig den Opgave at
forklare disse Afhængighedsforhold ved den dybere Sammenhæng
mellem Liniegeometri og metrisk Geometri. Denne beror paa
det algebraiske Særpræg, de har tilfælles. Men den
geometriske Synsmaade. Klein benytter sig af for at fremstille dette,
viser os samtidig Vejen til de følgende Undersøgelser om
Geometriens Grundlag.
De seks homogene Liniekoordinater kan tillige opfattes
som Punktkoordinater i et femdimensionalt Rum R$. Den
identiske Ligning, som de efter deres Definition tilfredsstiller,
er af anden Orden, bestemmer altsaa en firedimensional
Mangfoldighed M± af anden Orden i R$. Denne svarer altsaa til
»Linierummet«, d. v. s. ethvert af dens Punkter svarer entydigt
til en ret Linie i det sædvanlige Rum R% og omvendt.
Liniegeometriens analytiske Behandling vil derfor svare til den
analytiske Behandling af Geometrien i denne M±\ og denne
kan vi atter henføre til en plan Mangfoldighed R^ f. E. ved
stereografisk Projektion. Lad os nedsætte Dimensionstallene
med 2 for at se, hvordan dette plejer at ske: En Flade M2
af anden Orden i det sædvanlige Rum R3 (f. E. en Kugle)
overføres ved Projektion fra et af dens Punkter (Nordpolen JV)
til en Plan uden for dette (Ækvatorialplanen P). De rette
Linier paa M2 (imaginære for Kuglens Vedkommende)
fremstilles atter som rette Linier i P undtagen de to, som gaar
igennem Projektionspunktet N\ disse udarter til 2 Punkter i
P. Nu fremstaar den metriske Geometri i Planen netop vecl,
at to Punkter (de uendelig fjærne Cirkelpunkter) fremhæves;
den svarer altsaa til Geometrien paa M%, saasnart eet Punkt
paa M2 (Projektionspunktet) fremhæves. Paa samme Maade
vil den metriske Geometri i R±, der benytter en Flade af
anden Orden som Fundamentalfigur, svare til Geometrien paa
M± i R5, efter at eet af dennes Punkter er fremhævet; den
vil altsaa svare til Liniegeometrien, efter at een ret Linie i
det sædvanlige Rum er fremhævet. Man har altsaa kun behov
at udvikle den ene af disse to tilsyneladende vidtforskellige
Geometrier og vil saa uden Vanskelighed kunne overføre
dens Udsagn paa den anden. Til en geometrisk Sætning i
R^ der ikke er af metrisk Natur, vil der svare en
liniegeometrisk Sætning, i hvilken der ikke sker Fremhævelse af
nogen ret Linie. Som Eksempel overfører Klein Dupin’s
Teorem om, at i et tredobbelt Ortogonalsystem af Flader
Mat. Tidsskr. B. 1921. 5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
