Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
DANSKE EKSAMENSOPGAVER. 63
Danske Eksamensopgaver.
Skoleembedseksamen ved det matematisk-naturviden-
skabelige Fakultet.
II Del (ældre Ordning), Januar 1921.
Opgave i Matematik, Nr. i.
1. Idet Potensrækken
f(x) = i + a^x + a^ + . . . 4- an%n + - - -
har sin Konvergensradius større end Nul, skal man vise, at det
samme gælder
log/W = b& + b^ + - - - + 6nxn + . . .
og angive, hvad der bestemmer denne Potensrækkes
Konvergensradius. Find dernæst Rekursionsformler til successiv
Bestemmelse af Koefficienterne bn ved de givne Koefficienter an.
Eks. f(x] ~ cos x.
2. Vis, at to algebraiske Kurver af 3. Orden y og i)), der
ligger i samme Plan og gaar gennem de samme 3 Punkter
A, B, C af en ret Linie /, almindeligvis skærer hinanden i 6
andre Punkter, der er beliggende paa et Keglesnit. Vis, at
dette Keglesnit, naar 9 og / ligger fast, medens \|>
gennemløber et Kurvebundt, der har 3 af sine Grundpunkter i A, B
og C, vil gennemløbe et Keglesnitsbundt.
Løsninger.
i. Da /(.r) er analytisk og forskellig fra Nul i Omegnen af
Begyndelsespunktet, maa log/(.r) ligeledes være analytisk i dette
Omraade, og altsaa eksisterer der en Potensrække af den angivne
Form.
Radius i denne sidste Potensrække er enten lig med
Konvergensradius i den første eller lig med den mindste numeriske
Værdi af Rødderne i f(x) = o.
Differentieres denne sidste Række med Hensyn til x, faas
/’ tø = (*1 + ^ +....+ ^n*-1 H––––)/(4
hvoraf ved Anvendelse af Cauchys Multiplikationsregel, og idet
man søger Koefficienten til xn, den søgte Rekursionsformel
(» + i) an+i = (n + i) bn+i + na^bn -f- (« - i) #2£n_i––-
+ 2#n_1 £2 + anb±, « > o ;
for n = o faas derimod a1 = b±.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
