Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. I I J
en geometrisk Lærebygning paa Grundlag af I, II, IV, V, VI
alene. Denne Lærebygning er ført saa vidt, at
Projektivgeometrien er grundlagt. At Euklids Kongruenslære kræver et
Par supplerende Postulater for at kunne fastlægges, er mindre
væsentligt. Projektivgeometrien aabner nemlig Vejen til ved
frie Definitioner at indføre enhver Maalgeometri, ogsaa den
Euklidiske; men for at gøre det kan det ganske vist blive
nødvendigt at udvide det Omraade, der foreligger, med nogle
definitionsmæssigt indførte nye Elementer (nye Punkter og
Linier). Ud fra dette Synspunkt kan det da siges, at de
nævnte Postulater I, II, IV, V, VI er tilstrækkelige til
Begrundelse af den plane Geometri. Det er dog indlysende, at vi
ved hele denne Fremstilling, der er holdt saa nær som mulig
til den Ramme, Euklid har givet, har set bort fra en
aksiomatisk Formulering af Beliggenhedsegenskaber (angaaende
Ordningen af Punkter paa en ret Linie, den rette Linies Deling af
Planen i 2 adskilte Dele, o. 1). En saadan Formulering er
gennemført af Pasch og Hilbert, og dette Problem behøver ikke
at beskæftige os her.
48. Vi vender nu et Øjeblik tilbage til det 4de Postulat.
Det er muligt, at Zeuthen kan have Ret i den Betragtning, at
dette Postulat skal minde om den empiriske Fremstilling af
rette Vinkler ved Hjælp af en Gnomon, paa lignende Maade
som Postulaterne I-II skal minde om den empiriske
Fremstilling af rette Linier ved Lineal, og Postulat III om den
empiriske Fremstilling af Cirkler ved Passer. Men en saadan
Betragtning kunde ogsaa føre til et noget videregaaende
Resultat. Netop i Tilslutning til I, II, III vilde det ud fra dette
Synspunkt være naturligt at opstille som Postulat IV: I et
hvilket som helst Punkt af en ret Linie lader sig
oprejse en vinkelret paa Linien. Og hertil vilde det være
naturligt at føje, at: Alle rette Vinkler er lige store.
Denne sidste Tilføjelse kunde passende, netop med Henblik
paa Anvendelsen af Gnomon, tages i følgende Betydning:
Retvinklede Trekanter med stykkevis lige store
Kateter kan bringes til Dækning.
49. Paa denne Maade kommer man da til den fra et
empirisk Synspunkt simpleste Formulering af Forudsætningerne
for Euklids Geometri:
Man antager Postulaterne I, U, III; IV udvides til:
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
