Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Geometrisk bild ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
geometrien utgår från några såsom sjelfklara ansedda
satser, axiom. Bland dessa är det, som ligger till
grund för läran om parallella linier, icke lika enkelt
som de öfriga. Derför har det äfven framställts under
flere olika former, men har dock alltid synts fordra
bevis. Detta har gifvit matematici, särskildt Gauss,
W. och J. Bolyai samt Lobatsjevski, anledning att
uppbygga ett geometriskt system, från hvilket läran
om parallella linier, i den vanliga betydelsen, samt
hvad derur följer, uteslutits. Detta system är lika
konseqvent och fritt från motsägelser som den vanliga,
euklideiska geometrien, men är naturligtvis i mycket
olikt denna. Det upptager t. ex. satser sådana som
den följande: summan af vinklarna i en triangel är
antingen i hvarje triangel lika med två räta vinklar
eller i hvarje triangel mindre än två räta vinklar;
hvilketdera afgöres icke. Denna geometri kallas
absolut, imaginär l. pan-geometri, af hvilka namn
det första är vanligast. – Geometrien härstammar från
Egypten, der de äldste grekiske matematikerna under
7:de årh. f. Kr. hemtade sina första geometriska
kunskaper, hvilka derefter i allt högre grad
utvecklades af en mängd framstående geometrer,
bland hvilka Pytagoras, Hippokrates från Chios,
Plato, Euklides, Archimedes och Apollonius voro de
förnämste. Vid slutet af 3:dje årh. f. Kr., då den
antika geometriska vetenskapen nått sin höjdpunkt,
omfattade den dels den nu s. k. elementära geometrien
till det omfång den intager i Euklides’ "Elementa",
dels ock åtskilliga andra kroklinier än cirkeln,
särskildt de koniska sektionerna, d. ä. ellipsen,
hyperbeln och parabeln. Under den derpå följande tiden
uppträdde ännu några geometrer med sjelfständiga
undersökningar, men de följdes snart af endast
bearbetare, af hvilka Pappus (vid slutet af 4:de
årh. e. Kr.) har den största betydelsen. Derefter
kom en period af ungefär 1000 år, under hvilken
geometriens studium låg nästan alldeles nere. Först
mot midten af 15:de årh. upptogs det åter. Under
geometriens då långsamt försiggående pånyttfödelse,
hvilken började med studerandet af de grekiske
författarna, framställde sig småningom ett helt
nytt mål för de geometriska undersökningarna. Då
nämligen den grekiska geometrien, med ett par
undantag, saknade alla allmänna metoder, så att
samma uppgift i särskilda fall måste behandlas på
helt olika sätt, och endast sysselsatte sig med det
speciella, konkreta fallet, började nu en sträfvan
efter generalisation göra sig gällande. Första
frukterna af denna sträfvan visade sig under förra
hälften af 1600-talet, då Cartesius, Roberval och
Fermat uppfunno hvar sin allmänna metod att lösa den
dittills endast i speciella fall behandlade uppgiften
att draga tangenter till kroklinier, samt Pascal
utbildade metoderna att bestämma kroppars ytor och
volymer m. m. Skilnaden mellan den gamla och den
nya geometrien blef fullständig genom Cartesius’
storartade skapelse, den analytiska geometrien,
hvilken har blifvit ett af de förnämsta medlen
för geometriens utveckling och äfven utöfvat stort
inflytande på de öfriga grenarna af matematiken.
I detta afseende kan endast 1600-talets andra
stora, för hela matematiken epokgörande, upptäckt
jämföras med densamma, nämligen Leibniz’ och
Newtons upptäckt af infinitesimalkalkylen. I
förening med den analytiska geometrien visade
denna kalkyl sig snart så ytterst fruktbärande för
geometriens vidare utbildning, att under det 18:de
årh. den rena geometrien nästan blef ansedd såsom
öfverflödig. Intresset för densamma återväcktes
först af Monge (d. 1818) och L. Carnot (d. 1823),
hvilka grundlade såväl den deskriptiva som den
projektiviska geometrien. Ur den senare af dessa
utbildade sedermera Poncelet, Möbius, Plücker,
Steiner, Salmon och Cremona m. fl. den syntetiska
geometrien. Sjelfva grundvalarna för all geometri,
de geometriska axiomen, hafva Riemann (1854) och
senare Helmholtz gjort till föremål för djupt gående
undersökningar. K. L.
Geometrisk bild l. Virtuel bild, fys. Se Lins och
Spegel.
Geometrisk ort, matem., sammanfattningen af de
punkter, som uppfylla ett visst angifvet vilkor. En
geometrisk ort utgöres vanligen af en sammanhängande
linie eller yta, men kan stundom äfven bestå af flere
linier, ytor eller isolerade punkter. Om t. ex. en
punkt bör ligga i ett gifvet plan och vara på lika
afstånd från två gifna punkter i samma plan, så blir
den geometriska orten för punkten en rät linie,
som vinkelrätt halfverar de båda gifna punkternas
sammanbindningslinie. G. E.
Geometrisk progression l. Geometrisk serie, matem.,
en sådan serie, der qvoten mellan. hvarje term och den
närmast föregående är konstant. Om den första termen
kallas a, och q antages vara den konstanta qvoten,
blir serien således
a, aq, aq2, aq3, ......
Den n-te termen är tydligen aqn-1 i, och summan, s,
af n termer befinnes vara
qn - 1
s = a . –-
q - 1
Summering af geometriska progressioner
förekommer bl. a. vid åtskilliga amorterings- och
lifränteproblem. En geometrisk progression säges
vara aftagande eller tilltagande, allteftersom q är
mindre eller större än ett. Med en oändlig geometrisk
progression förstår man en aftagande geometrisk
progression, der termernas antal är större än något
ändligt tal; summan af en sådan serie är
a
––––- .
1 - q
Geometriska progressioner behandlades redan af
Euklides (omkr. 300 f. Kr.); oändliga geometriska
progressioner nyttjades först af Archimedes (287–212
f. Kr.). G. E.
Geometrisk proportion. Se Proportion.
Geometrisk serie. Se Geometrisk progression.
Geometriskt medium l. Geometriskt medeltal, matem.,
till tvänne gifna storheter kallas qvadratroten ur
storheternas produkt. Så är 4 geometriskt medium till
2 och 8 och i
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
