Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Talteori ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
kunna naturligtvis väljas antingen afbildningar af
vissa föremål, t. ex. ett lotusblad för 1,000, eller
rent konventionella tecken, t. ex. kilar af olika
former och ställningar. På ett högre kulturstadium,
då bokstafsskrift kommit mera i bruk, ligger det nära
till hands att såsom taltecken använda talordens
initialer eller också alfabetets bokstäfver i
ordningsföljd. Enligt det förra tillvägagåendet äro de
efter Herodianus benämnda grekiska taltecknen bildade;
det senare åter har blifvit användt af hebréerna
och infördes sedermera från dem till Grekland. Om de
romerska och indisk-arabiska taltecknen se Siffra;
om taltecknens sammansättning se Talsystema. Utom de
nu nämnda taltecknen, som uteslutande, afse hela tal,
hafva uppfunnits äfven andra tecken för att utmärka
bråk, t. ex. hos romarna. Inom matematiken förekomma
för öfrigt många särskilda taltecken, i allmänhet
för irrationella tal, t. ex. [pi] för 3,14159..., e för
2,71828... o. s. v. – Till taltecken i vidsträcktare
mening höra äfven fingerräkningstecken. d. v. s. de
olika fingerställningar, medelst hvilka man i äldre
tider var i stånd att utmärka alla tal från 1 till
9,999. Öfver dessa fiugerräkningstecken finnes
en liten uppsats af den bysantinske författaren
Rhabdas (omkr. 1350), hvilken utgafs af Morel
(1614) och sedermera ofta blifvit omtryckt.
G. E.
Talteori, matem., den del af matematiken, som handlar
om de hela talen. Då de hela talen sönderfalla i
två hufvudgrupper, primtal och sammansatta tal, har
talteorien först att undersöka egenskaperna hos dessa
olika grupper, angifva sättet att, så vidt möjligt
är, bestämma om ett tal är primtal (se d. o.) eller
i motsatt fall uppdela talet i faktorer. Till läran
om primtalen hör för öfrigt en mängd satser, af
hvilka flere, ursprungligen på empirisk väg funna,
ännu icke blifvit strängt bevisade, t. ex. satsen
att hvarje jämnt tal kan uppdelas i en summa af två
primtal. Bland frågor rörande sammansatta tal må
exempelvis nämnas problemet att bestämma huru många
tal kunna gå jämnt upp i ett gifvet tal, hvars alla
primfaktorer äro kända. Till läran om egenskaperna hos
de hela talen i allmänhet hör det omvända problemet
att bestämma huru många tal äro mindre än ett gifvet
tal a och relativa primtal till detta, hvilket problem
gifvit uppslaget till omfattande undersökningar. I
sammanhang med det nu anförda står läran om
partition, d. v. s. tals uppdelning i en summa af hela
addender, och om flere särskilda slag af tal,
t. ex. fullkomliga tal, befryndade tal etc. – En
mycket omfattande del af talteorien upptages af läran
om heltalslösningar till indeterminerade eqvationer
(se Indeterminerad) och lösningen af kongruenser
(se under Kongruera). Då de hela talen utgöra
endast en ringa afdelning inom hela följden af tal, är
det klart, att indeterminerade eqvationer i allmänhet
ega endast ett mindre antal heltalslösningar. För
eqvationer af 1:sta graden och speciella eqvationer
af 2:dra graden kan lösningen erhållas på elementär
väg; för öfriga eqvationer fordras i allmänhet
särskilda metoder. Vissa eqvationer ega alls inga
heltalslösningar; särskildt
är detta fallet med eqvationen xn + yn = zn, så snart n
är större än 2, en sats, för hvars riktighet intet
generelt bevis dock ännu blifvit funnet. Till
läran om kongruenser (hvilka egentligen äro en
annan form för indeterminerade eqvationer, der
en af de obekanta ingår blott i 1:sta digniteten)
hör särskildt läran om qvadratiska rester (se Rest)
och reciprocitetslagen (se Reciprocitet. – En tredje
afdelning af talteorien bildar läran om talformer,
hvilken särskildt i våra dagar gifvit anledning till
betydande undersökningar. Bland enklare hithörande
satser må exempelvis anföras det redan af Euler
bevisade teoremet att ett primtal af formen 3n+1
alltid och endast på ett enda sätt kan framställas
under formen x2 + 3y2. – Till talteorien hör äfven
en del af läran om kedjebråk, hvilka bråk spela en
vigtig rol särskildt vid lösningen af indeterminerade
eqvationer af 2:dra graden.
Redan i Euklides’ »Elementa» finnas (i b. 7–9)
talteoretiska undersökningar. Man träffar der flere
satser om primtal, t. ex. satsen att primtalens
antal är oändligt, samt om udda och jämna tal, om
fullkomliga tal o. s. v. Eratosthenes angaf en metod
att bestämma de successiva primtalen. Nikomachos
och Diofantos behandlade läran om polygonaltalen,
och den sistnämnde löste ett stort antal
indeterminerade eqvationer samt angaf åtskilliga
satser rörande talformer, t. ex. att intet tal
af formen 8n+7 kan vara en summa af blott tre
qvadrater. Äfven hos inderna och araberna samt i
Vesterlandet under medeltiden idkades talteoretiska
undersökningar. Så sysselsatte sig Brahmagupta med
lösningen af obestämda eqvationer af 1:sta och 2:dra
graden. Alkhodjandi framställde, ehuru utan bevis,
satsen att ingen kub kan vara summa af två kuber,
och Leonardo Pisano löste på ett skarpsinnigt sätt
flere problem ur den indeterminerade analysen. Den
moderne grundläggaren af talteorien är dock Fermat,
hvilken, ehuru till stor del utan bevis, framställde
en mängd hithörande satser, t. ex. att om p är ett
primtal och a ett relativt primtal i förhållande till
p, så är ap-1 -1 [kongruent] 0 (mod p), att hvarje primtal
af formen 4n+1 endast på ett sätt kan uttryckas
såsom en summa af två qvadrater, och att eqvationen
xn+yn=zn är omöjlig, så snart n är större än 2. Efter
Fermat upptogos de talteoretiska undersökningarna
först vid midten af 1700-talet, då Euler och Lagrange
bevisade flere af Fermats satser samt äfven på mera
direkt sätt utbildade talteorien genom nya satser
eller metoder. Särskildt var Euler den förste, som
uppställde reciprocitetslagen, och Lagrange visade,
att hvarje tal är en summa af högst fyra qvadrater,
hvarförutom den sistnämnde angaf flere vigtiga
metoder för lösning af talteoretiska frågor. Mot
slutet af 1700-talet sammanfattade och kompletterade
Legendre de förut gjorda undersökningarna, och
kort derefter framträdde Gauss med sina banbrytande
upptäckter, genom hvilka han fullständigt omskapade
talteorien. Bland dessa må exempelvis nämnas de första
fullt stränga bevisen för reciprocitetslagen, teorien
för qvadratiska rester, införande af de komplexa
talen inom talteorien och vigtiga
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
