- Project Runeberg -  Nordisk familjebok / 1800-talsutgåvan. 16. Teniers - Üxkull /
711-712

(1892) Tema: Reference
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Like | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Triftong ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

medelpunktsvinkel. Uppritar man nämligen med A till
medelpunkt en cirkel, som går genom C, samt utdrager
linierna CB och AB, tills de träffa cirkeln i K och
D, så är tydligen CB å ena sidan lika med halfva
kordan till dubbla bågen CD, å andra sidan lika med
sin x, eftersom AC är = 1. Drager man vidare genom
D en tangent och låter denna skära den utdragna AC
i E, inses lätt, att AB = cos x, och att på grund af
likformigheten hos
trianglarna ABC och ADE,
BC BC
DE = –––- . AD = –––- = tg x
AB AB

samt
AC AC
AE = –––- . AD = –––- = sec x
AB AB

illustration placeholder

Drager man från A en radie AF vinkelrät mot
AD och kallar vinkeln CAF (komplementet till x) för
y, kan det lätt visas, att BC = cos y, DE =
cotg y och AE = cosec y. Det nu anförda förklarar
också uppkomsten af de fem sista trigonometriska
funktionernas namn (om härledningen af namnet sinus se
Sinus). Ursprungligen representerade nämligen tg x
tangenten till en viss cirkel, sec x en skärande
linie (Lat. secare, skära) i samma cirkel samt
cos y, cotg y och cosec y i ordning sinus, tangent
och secant för komplementet till y. – Såsom ofvan
nämndes, var kordan den trigonometriska funktion –
eller, mera exakt uttryckt, trigonometriska linie –,
som först behandlades. Den användes redan af
astronomen Ptolemaios vid hans beräkningar af sferiska
trianglar och sedermera hos inderna. Från de senare
härrör bruket att i st. f. kordan begagna sinus,
en förbättring, som äfven upptogs af de arabiske
matematikerna, i främsta rummet Al-Battani, och snart
helt och hållet utträngde bruket af kordorna. Abulvefa
införde bruket af tangenten, och äfven de öfriga
trigonometriska funktionerna voro icke helt och
hållet obekanta för araberna. Regiomontanus använde
deremot egentligen endast sinus och tangenten. Först
mot slutet af 1500-talet kommo de öfriga funktionerna
i bruk i Europa, ehuru det dröjde länge, innan de nu
brukliga namnen blefvo allmänt antagna. Den förste,
som direkt hänförde de trigonometriska funktionerna
till en rätvinklig triangel, var Rhaeticus i midten
af 1500-talet. Såsom förhållanden mellan en sådan
triangels sidor torde de hafva blifvit framställda
först af Pitiscus (1600). I äldre tider begagnades
ej beteckningarna sin x, cos x o. s. v., utan man
använde i stället nya bokstäfver t. ex. s för sin x,
c för cos x. Det var Euler, som (1744) införde det
nu brukliga beteckningssättet, hvarigenom det blef
möjligt att analytiskt behandla de trigonometriska
funktionerna, och hela trigonometrien i öfrigt fick
en alldeles ny form. Utom de nu nämnda funktionerna
användes förr äfven sinus versus l. sagitta, som
motsvarar linien BD i ofvanstående figur och analytiskt
definieras genom likheten sin vers x =1 – cos x. Denna
funktion förekommer dock numera, såsom varande
obehöflig, mycket sällan. – De trigonometriska
funktioner, om hvilka hittills talats, kallas äfven
goniometriska, eller direkt cirkulära funktioner,
till skilnad från de cyklometriska, eller inversa
cirkulärfunktionerna, hvilka stundom inbegripas
bland de trigonometriska. Dessa senare funktioner
uppkomma, då man i likheterna y = sin x, y = cos
x, etc. betraktar vinkeln x såsom funktion af dess
sinus, cosinus, o. s. v. Funktionstecknen för de
cyklometriska funktionerna äro arcsin, arccos, arctg,
arccotg, arcsec och arccosec (af Lat. arcus båge).
G. E.

Trigonometriska tabeller kallas tabeller, som
angifva de numeriska värdena af de trigonometriska
funktionerna eller deras logaritmer för ett större
eller mindre antal olika vinklar. Det förra slaget
af tabeller säges innehålla de naturliga, de senare
åter de artificiella trigonometriska funktionerna,
eller talen. De flesta bland de nu vanliga tabellerna
angifva värdena för logaritmerna till sinus,
cosinus, tangent och cotangent för alla vinklar, som
innehålla ett helt tiotal sekunder, d. v. s. utgöra
multipler af 1/32400 af en rät vinkel. För secanter
och cosecanter behöfvas egentligen inga tabeller,
enär dels dessa funktioner nästan aldrig användas
vid numeriska beräkningar, dels deras logaritmer äro
gifna genom relationerna log sec x = -log cos x och
log cosec x = -log sin x. – De första till vår tid
bevarade trigonometriska tabellerna uträknades af
astronomen Ptolemaios och innehöllo kordorna för
alla bågar från 0 till 180°, hvilkas längd kunde
uttryckas med ett helt antal hela eller halfva grader
och under antagande att radien bestämdes till 60
längdenheter. Den indiske matematikern Bhaskara
beräknade sinustabeller för hvarje grad, och hos
araberna upprättades ännu utförligare sinustabeller
af Abulvefa och Ibn Junis. I Europa var Peurbach den
förste, som uträknade en sådan tabell för hvar tionde
minut och med en radie = 600,000 längdenheter. Denna
kalkyl utsträcktes vidare af Regiomontanus till
hvarje minut och förbättrades genom antagandet
af en radie = 10,000,000 längdenheter, hvarmed
decimalberäkningen var fullständigt genomförd
på detta område. Regiomontanus beräknade äfven en
tangenttabell för hvarje grad. Nya tabeller utgåfvos
sedermera af Apianus (1534), Copernicus (1543),
Viète (1579), Rhaeticus (1596) och Pitiscus (1613),
i hvilka de trigonometriska talen angåfvos med ända
till 15 decimaler och för hvar 10:de, i vissa fall
för hvarje sekund. Alla de nu nämnda tabellerna
innehöllo, såsom uträknade före logaritmernas
upptäckande, endast de naturliga trigonometriska
talen. Efter nämnda upptäckt uträknades utförliga
trigonometriska tabeller af Gunther (1620) och Vlacq
(1628) för hvarje minut och af den senare för hvar
10:de sekund (1633). De trigonometriska tabeller,
som under de sista två årh. utgifvits, hafva oftast
varit förenade med logaritmtabeller (se d. o.). G. E.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Fri May 10 18:40:47 2019 (aronsson) (diff) (history) (download) << Previous Next >>
http://runeberg.org/nfap/0362.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free