Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Vektor
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
af konstruktionen, att den geometriska summan är
oberoende af de båda vektorernas ordningsföljd,
d. v. s. om U och V beteckna två vektorer
U + V - V + U.
Denna formel uttrycker, att den s. k. kommutativa
lagen, som gäller för algebraisk addition, äfven
gäller för vektoraddition. Vektorers subtraktion
definieras liksom i aritmetiken som den inversa
operationen till addition. Alltså speciellt BA =
-AB. Ofvan gifna konstruktion innebär, att två
vektorer adderas enligt den s. k. triangel-
eller parallellogramlagen (se Krafternas
parallellogram). Finnas flera vektorer, adderas de
undan för undan enligt den s. k. polygonlagen (se
Polygon 2). Konstruktionen förklaras genom figur 3,
i hvilken vektorn AE framställer den geometriska
summan eller vektorsumman af vektorerna AB,
BC, CD, DE. Operationen skrifves AB + BC +
CD + DE =AE.
B
Fig. 3.
Omvändt är det klart, att en vektor kan uppfattas
som summan af ett godtyckligt antal vektorer, och
det är ofta förenadt med fördel att framställa en
gifven vektor som summan af andra vektorer, hvilkas
riktningar äro gifna. Inför man t. ex. i rymden ett
rätvinkligt koordinatsystem (se K o o r-dinater),
kan man alltid finna tre vektorer X, Y, Z, parallella
med de tre koordinataxlarna, och sådana att en gifven
vektor V kan skrifvas
V = X + Y + Z.
Som X, Y, Z kunna V:s projektioner på de tre axlarna
väljas. Vektorn V å ena sidan och vektorerna X, Y,
Z å den andra bestämma hvarandra ömsesidigt. X, Y,
Z bruka betecknas som V:s komponenter. Vid räkning
med vektorer spela dessa komponenter för det mesta
en stor roll, ehuru särskildt under senare tid en
stark tendens gjort sig gällande att så vidt möjligt
undvika dem och räkna direkt med vektorerna själfva.
"Arbetets" definition i mekaniken (se A r b e t e)
för oss till ett nytt sätt att kombinera två vektorer
med hvarandra. Produkten af längderna U och V af två
vektorer U och V multiplicerad med cosinus af vinkeln
0 mellan deras riktningar kallas vektorernas skalära
1. inre produkt och betecknas oftast med U V.
Eftersom UV=t/Fcos(9=VU, gäller den kommutativa lagen’
äfven för den skalära multiplikationen. Det är lätt
att bevisa, att äfven den s. k. distributiva lagen
gäller, d. v. s. att
U (V + W) = UV 4- U W.
Här betyder (V 4- W) den geometriska summan af
vektorerna V och W, medan de två skalära produkterna
i högra ledet, hvilka äro skalärer och ej vektorer,
adderas enligt vanliga aritmetiska lagar.
Det finns äfven ett annat sätt att bilda produkten af
två vektorer. Den på detta sätt bildade produkten,
den s. k. yttre produkten eller vektorprodukten, är
i motsats till den skalära produkten af vektoriell
natur, som framgår af följande förklaring. Två
vektorer U och V bestämma en parallello-
V
w
u
Fig. 4.
gram (se fìg. 4). Denna kallas enligt Grassmann (se
denne) vektorernas yttre produkt och betecknas med
[U V] ; dess yta är lika med U V sin O (där U, V och
fe> ha samma betydelse som ofvan), ställningen på dess
plan är bestämd genom vektorernas riktningar, och man
tilldelar den genom ordningsföljden på vektorerna U
och Y en bestämd omloppsriktning (se fig. 4). Liksom
vi betraktade två vektorer som lika 1. likvärdiga,
om de hade samma längd, voro parallella och riktade
åt samma håll, anse vi nu två parallellogrammer -
oberoende af huru dessa uppkommit - som likvärdiga, om
deras ytinnehåll äro lika, deras plan äro parallella
och deras omloppsriktningar of verensstämma. Man
kan gå ännu längre och anse två begränsade planytor
likvärdiga, om deras plan äro parallella och de
ha samma ytinnehåll och omloppsriktning. Sådana
storheter kallar Grassmann planstorheter (fig. 5). En
planstorhet kan fullständigt representeras genom
en vektor, som är vinkelrät mot planstorhetens
plan, hvars längd är numeriskt lika med dennas yta
och som pekar åt det håll, en högergängad skruf
skulle framskrida, om den vredes i planstorhetens
omlopps-riktning. Speciellt kan yttre produkten genom
sin egenskap af planstorhet uppfattas som en vektor
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
