Print (PDF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
I O 2
SVANTE BOHMAN
Litet kåseri med anledning av ett studentproblem.
Av Emil Solander.
Andra uppgiften i senaste studentskrivningen i matematik
för reallinjen lyder sålunda: »Bestäm medelpunkten i en cirkel
med given radie r, då cirkeln i två punkter tangerar parabeln
y2 = 2p x.» Av symmetriskäl måste cirkelns medelpunkt ligga
på parabelns axel; antag i punkten (a, o). Elimination mellan
ekvationerna (x — a)2 + y2 = r2 och y2 = 2px ger eventuella
gemensamma punkter. Man får (x—a)2 + 2px^=-r2, eller
efter hyfsning ;r2 — 2 (a —/) x + a2 — r2 = o. Diskriminanten
[a —p)2 — (a2 — r2) eller hyfsad — 2 ap + p2 + r2 måste försvinna,
om två skärningspunkter skola sammanfalla, vilker ger a =
pr2 0
= 2 2p’ ^rmed är uppgiften formellt löst, men det
återstår att undersöka, vilka värden a och r kunna antaga. Då
diskriminanten är noll, får man direkt för tangeringspunkternas
- y,2 –-
koordinater x = a—p =-— > och således y =- + v r2 — p2.
2p j — r
Härav ses, att lösningen förutsätter r>/, varmed följer a>r>p.
För r =p(=a) sammanfalla tangeringspunkterna i vertex,
vilket naturligtvis sammanhänger med — och utgör ett bevis
för — att parabelns krökningsradie i vertex har värdet p. I
detta sammanhang vill jag påpeka, att allmänna uttryck för
parabelns krökningscentrum och krökningsradie lätt kunna
erhållas utan användning av den generella teorin. Ekvationerna
för normalerna i punkterna (xI} yz) och (x2, y2) kunna
sammanfattas i dubbelekvationen py — pyT — yi(x— = py2 —
—y2(x — x2). För skärningspunktens ;r-kordinat fås därför, då
3 3
v — V
punkterna ligga på parabeln: (y2—yJ)x=-J-1 -f p{y„ — i^),
2 p
2 i i 2
y "t v v t v
och således, så länge y2=¥yI, x——-zizi-=>_! ^ Låter
2p
man här y2—J>yI fås „r-koord. för krökningscentrum i (x^yj:
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
