Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - IX. Metriske Egenskabers projektive Natur
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Hvis man opstiller den rette Linjes Udmaaling med valgt
Enhed som Element i den metriske Geometri paa den rette Linje,
saa er denne Operation ligefrem projektiv og giver, som Poncelet
viser[1], den perspektiviske Flugtskala (echelle fuyante). Hvis
nemlig A, B, og C ere tre Punkter paa samme rette Linje og man har
AB = BC,
saa er A og C harmoniske til B og det uendelig fjerne Punkt paa
Linjen; men harmoniske Punkter danner et projektivt System.
En umiddelbar Udvidelse heraf er Overgangen fra den
absolute Længdes Udtryk ved en valgt Enhed til et Dobbeltforhold,
saaledes som den f. Ex. er vist af Clebsch[2].
Heraf følger, at alle Lægderelationer langs samme rette Linje
kan gives en projektiv Karakter ved Hjælp af den valgte Enhed og
det uendelig fjerne Punkt paa Linjen.
For herfra at gaa over til metriske Længderelationer i Planet,
er det kun nødvendigt at reducere to forskjellig rettede Længder
i Planet til samme Enhed. Dette sker ved Hjælp af Systemet af
Cirkler med den valgte Enhed til Radius. Systemet af alle Cirkler
i samme Plan med ligestore Radier er nemlig af projektiv Karakter,
idet to hvilkesomhelst af disse Cirkler ere definerede ved at have
et Par Fællestangenters Skjæringspunkt paa en fælles Korde,
hvilken Egenskab er deskriptiv[3]. Herved er den projektive Karakter
af saadanne Relationer tilstrækkelig antydet. I Rummet er de
analoge Forhold ogsaa tydelige nok.
Saaledes er her paavist en almindelig og abstrakt Methode til
at faa enhver Relation mellem en Figurs Længder til at antage en
projektiv Karakter. Men ogsaa de Relationer, der udelukkende
beskjæftige sig med Vinkelrelationer og blandede Relationer, i hvis
Udtryk, der forekomme saavel Vinkel- som Længderelationer, kan
gjøres projektive. For at vise dette yulle vi imidlertid først
paapege nogle Følger af Kontinuitetsprincipget[4].
Vi har allerede i Kap. V seet, at Kontinuitetsprincipet indfører
Ideen om imaginære Punkter. Enhver reel, ret eller algebraisk
krum, Linje indeholder foruden sine reelle Punkter tillige en
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
