Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Trigonoduskalk - Trigonometri - trigonometriske Funktioner
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Trigonoduskalk, en i Sydtyskland
forekommende, 5—6 m mægtig Aflejring af
Kalksten og Dolomit med Trigonodus Sandbergeri.
T. hører til Muslingekalken.
J. P. R.
Trigonometri (mat.), ɔ: Trekantsudmaaling,
er et Afsnit af Matematikken, hvori de
Opgaver løses, der gaar ud paa af nogle Stykker i
en Trekant at beregne andre. T. forudsætter
Goniometrien ɔ: Læren om de saakaldte
trigonometriske Funktioner: sinus, cosinus,
tangens, cotangens, secans, cosecans samt Tavler
over disse Funktioner (se
trigonometriske Funktioner). De nævnte Opgaver er
for plane retvinklede Trekanter umiddelbart
løste ved de trigonometriske Tavler, idet en
Vinkel i en saadan Trekant med Hypotenusen
1 har sin sinus og cosinus = henholdsvis den
modstaaende og den hosliggende Katete. Ved
vilkaarlige plane Trekanter, hvor 3 Stykker,
som ikke alle er Vinkler, almindelig bestemmer
de andre, har man dannet de til
Trekantsopgavernes Løsning nødvendige Ligninger mellem
Stykkerne; af disse kan nævnes: a2 = b2 +
c2 — 2bc cos A, sin A/a = sin B/b = sin C/c, tg 1/2 A =
kvadratrod((s-b) (s-c)/s (s—a)(s-b) (s-c)/s (s—a)), hvor a, b, c betegner Siderne,
A, B, C Vinklerne og s = 1/2 (a + b + c).
Behandlingen af mere sammensatte retlinede
Figurer foregaar gerne ved deres Deling i
Trekanter. Om sfærisk T. s. d. I den af
Lobatschevskij (s. d.) opstillede ikke-euklidiske
Geometri vil de trigonometriske Relationer mellem
den plane Trekants Stykker kunne faas ved i
den sædvanlige sfæriske Trekants Relationer i
Stedet for Siderne a, b, c at sætte ia, ib, ic
(i = kvadratrod(—1)). T. dyrkedes i Oldtiden nærmest
som Hjælpefag for Astronomien. I de dengang
brugelige Metoder til Trekantsbestemmelser
traadte Korder i Stedet for vore sinus’er,
med hvilken de staar i den simple Forbindelse,
at sinus af en spids Vinkel er lig det halve af
Korden svarende til en dobbelt saa stor
Centervinkel i Cirkelen med Radius 1. I Stedet for
vore trigonometriske Tavler maatte man altsaa
have Kordetavler. Allerede Hipparch
beregnede en saadan Tavle, der er gaaet tabt. I
Ptolemaios’ Almagest findes en Tavle over
Korderne til en Række Vinkler med Differensen 1°/2,
der strækker sig op til 180°. Disse Kordetavler
afløstes hos Inderne og Araberne af Tavler over
de trigonometriske Funktioner. Den første
samlede Behandling af T. findes i
Regiomontanus’ De triangulis omnimodis libri quinque
(1533). Trekantsrelationerne udvikledes videre
f. Eks. af Tyge Brahe og Thomas Fincke og
især af Vieta i hans Canon mathematicus
(1579).
Chr. C.
trigonometriske Funktioner (mat.) er
oprindelig indførte af Hensyn til Trigonometrien,
for hvis Relationer de er uundværlige. De kan
med denne Anvendelse for Øje defineres paa
følgende Maade. I den paa Fig. tegnede
Cirkel, hvis Radius tages til Længdeenhed,
afsættes den Vinkel x, hvis t. F. skal bestemmes,
som Centervinkel ud fra den faste Linie X,
i den ved Pilen angivne Retning eller den
modsatte, efter som Vinklens Gradantal er
positivt eller negativt. Det bemærkes, at man
ved at gaa Cirklen mere end een Gang rundt
kan afsætte Vinkler numerisk større end 360°.
Falder Vinklens andet Ben i OA, er OA’s
Projektioner OA1 og OA2 paa de to paa hinanden
vinkelrette Linier X og Y t. F. af x, som
kaldes sinus og cosinus og betegnes ved sin x og
cos x; OA1 og OA2 skal tages med positivt eller
negativt Tegn, efter som de falder i Retningerne
mod B og C eller de modsatte. Af
Bekvemmelighedshensyn har man indført 4 andre t. F.,
nemlig tg (tangens) = sin/cos, cot (cotangens) =
cos/sin, sec (secans) = 1/cos, cot (cotangens) = 1/sin,
desuden de nu kun lidet brugte sin versus
= A1B og cos versus — A2C. Disse
Definitioner, der gælder for alle positive og negative
Vinkler, erstattes i Funktionsteorien af andre,
der ogsaa omfatter komplekse Vinkler. Ved
at sammenligne de for alle reelle Værdier af x
gældende Rækkeudviklinger: sin x = x/1 —
x3/1 . 2 . 3 + x5/1 . 2 . 3 . 4 . 5 .., cos x = 1 — x2/1 . 2
+ x4/1 . 2 . 3 . 4 ..., hvor x betegner den til Vinklen
svarende Bue paa Cirklen med Radius 1, med
Rækken: eix = 1 + ix/1 — x2/1 . 2 — ix3/1 . 2 . 3 +
x7/1 . 2 . 3. 4 ... (e de naturlige Logaritmers
Grundtal, i = kvadratrod(—1), kommer man til Udtrykkene:
cos x = eix + e-ix / 2 og sin x = eix-e-ix /2i
Herved er de t. F. reducerede til de
eksponentielle, der er definerede for baade reelle og
imaginære Værdier af den variable. De t. F. er
periodiske, idet de antager samme
Værdier, naar Vinklen forøges med 2 π (360°); ved
en Del simple Forandringer i Vinklen, saasom
Ombytning med Eksplement-, Supplement- eller
Komplementvinklen, Forøgelse eller
Formindskelse med π eller π/2, beholder de t. F. deres
numeriske Værdier, undertiden dog med
Ombytning af Værdierne for sin og cos, tg og cot,
sec og cosec, medens Fortegnet kan forandres.
Mellem de t. F. af Vinkler og af deres Summer
og Differenser, Multipla af dem eller Brøkdele
af dem m. m. eksisterer der en Mængde
Formler, der hviler paa de to fundamentale:
cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y og
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Man
har naturligvis dannet Tavler over de t. F., men
ved Trekantsbestemmelser bruges almindelig
Tavler over deres Logaritmer. Disse Tavler
gaar kun til 90°, men Bestemmelsen af de t. F.
af en Vinkel kan altid ved de ovenomtalte
Forandringer i Vinklen reduceres til
Bestemmelsen af de t. F. af en Vinkel i Tavlen; ved
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
