Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - 8:e häftet. November 1872 - J. O. Andersson: Om massnivelering
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Sedan man antagit (se fig. 1 å pl. 17) en godtycklig horisontel
baslinie OO1 under längdprofilen[1] samt markerat en punkt O,
der transportprofilen skall begynna, afsattes på sektionslinierna
1, 2, 5, 4 o. s. v. från denna baslinie uti en viss skala skilnaden
mellan hvad som skall gräfvas och fyllas från nollsektionen
till hvar och en af dem, hvarvid gräfning och fyllning anses
hafva olika tecken. Enligt den bestämning, som här blifvit gjord
utvisa ordinater öfver baslinien OO1 fyllnadsöfverskott, ordinater
under nämnde linie gräfningsöfverskott. Storleken af en
ordinata kan, i öfverensstämmelse med hvad nyss blifvit sagdt,
bestämmas på två sätt. Antingen skaffar man sig dess
sifferuttryck genom att till eller från det tal, som den närmast
föregående ordiuatan representerar, addera eller subtrahera talet,
som angifver kubikmassan mellan ifrågavarande båda ordinater och
afsätter sedan detsamma i den angifna skalan, eller ock göres denna
beräkning grafiskt, i det till eller från den föregående ordinatan
adderas eller subtraheras en linie, som representerar nyssnämnde
kubikmassa Den förra metoden är här att föredraga, såsom
gifvande ett säkrare resultat, emedan afsättningsfelen då ej
fortplantas hela profilen igenom. Sammanbindas nu alla så
bestämda punkter, erhålles transportprofilen. Af det sätt,
hvarpå densamma blifvit bildad, framgå omedelbart följande
egenskaper:
1:o) Hvarhelst en ordinata drages mellan baslinien och
nämnde profil, representerar den skilnaden mellan gräfning och
fyllning, från nollsektionen till densamma (ordinatan).
2:o) Skilnaden af två ordinater, dragna hvar som helst,
angifver skilnaden mellan gräfning och fyllning mellan dessa
ordinater. (Hafva de båda ordinatorna motsatta tecken är det
naturligtvis deras summa, som representerar nyssnämnde skilnad).
3:o) Mellan nollsektionen och de punkter, der
transportprofilen skär baslinien gå gräfning och fyllning jemnt ihop.
4:o) Profilen stiger vid fyllning och faller i skärning,
hastigare eller långsammare i samma mån som kubikmassorna
mellan de respektive sektionerna äro större eller mindre.
5:o) Maximi- och minimipunkter – d. v. s.
transportprofilens vändpunkter – ligga på de vertikala linier, som gå
genom ballansliniens skärningspunkter med längdprofilen.
Dessutom kunna följande satser bevisas om transportprofilen :
6:o) Mellan alla de sektioner, huru man än kombinerar,
i hvilka en godtyckligt dragen horisontel linie skär densamma,
gå gräfning och fyllning jemnt ihop.
7:o) Ytinnehållet på de figurer, som, vare sig öfver eller
under en dylik horisontel linie, inneslutas mellan den och
transportprofilen, äro proportionela mot det variabla element i
formeln för transportkostnaden, hvari afståndet ingår.
8:o) I alla bergfigurer (figurer öfver den horisontela linien)
transporteras från höger till venster; i alla däldfigurer (figurer
under nyssnämnde linie) tvärtom.
Hvad först det i 6:o) sagda beträffar, så följer detta såsom
korolarium af hvad som blifvit sagdt i 2:o); ty om der två
eller flere ordinater äro lika stora, hvilket just är händelsen
uti ifrågavarande speciela fall, och således deras skilnad lika
med noll, så är ju äfven skilnaden mellan gräfning och fyllning
lika med noll mellan dessa ordinater.
Den vigtigaste egenskapen hos transportprofilen är den i
7:o) anförda, hvilken vi nu gå att bevisa.
I allmänhet kan transportkostnaden uttryckas med följande
formel: T = k + M . V . p hvaruti k är en konstant, M
kubikmassan, V vägen samt p priset per transport af kubikenheten.
Det är mot formelns sista element M . V . p, som uti 7:o) påstås
att areorna å de figurer, hvilka inneslutas mellan den horisontela
linien och transportprofilen, äro proportionela. Om uu1 är
den horisontela linien, så skär den transportprofilen uti punkterna
a1, b1, b2 o. s. v., och mellan sektionslinier, dragna genom
dessa punkter upp till längdprofilen, gå enligt föregående
gräfning och fyllning jemnt ihop. Alla figurer, vare sig berg- eller
däldfigurer, hafva således sina ändpunkter mellan dylika
sektionslinier. Vi skola nu visa, att arean å hvarje sådan figur
representerar produkten M V och således är proportionel mot M V p
(p förutsattes tills vidare konstant, d. v. s. det antages, att
samma materia transporteras, och att samma transportmedel
begagnas utefter hela profilen) mellan motsvarande sektioner.
Kan detta bevisas för en figur hvilken som helst, så gäller det
naturligen för alla figurer. Vi välja figuren a1 cb1, och vilja
nu visa, att dess area är lika med produkten M V, hvarvid M
för detta fall är den utgrafda kubikmassan mellan sektionerna
4 och b1 samt V afståndet mellan massans tyngdpunkt uti detta
läge och dess tyngdpunkt, då den blifvit utfyld mellan
sektionerna 4 och a1. Beviset blir lättfattligast, om vi först,
tänkande oss massan koncentrerad i sin tyngdpunkt, föreställa
oss den transporterad till öfvergångspunkten S samt sedan
derifrån utfyld. Vi kalla då afståndet mellan den ännu ej
uppgräfda massans tyngdpunkt och S för R samt afståndet från S
till den utfylda massans tyngdpunkt för R1.
Om A M är kubikmassan mellan två oändligt närbelägna
sektioner och e dess tyngdpunkts afstånd från S, så
representeras produkten A M . e af den streckade ytan uti figuren b1 c t;
ty skilnaden mellan de båda ordinatorna – eller, höjden på
ifrågavarande ytelement – angifver ju enligt föregående A M.
På samma sätt kan bevisas, att produkten A M . e för alla
resterande masselementer mellan oändligt närbelägna sektioner,
tagna från 4 till b1, angifvas af motsvarande resterande
ytelementer uti figuren b1 c t. Häraf följer att E A.M . e och
således äfven produkten M . R är representerad af arean å figuren
b1 c t; ty enligt lagarne för tyngdpunkten är E A M . e = M . R.
På alldeles analogt sätt kan bevisas, att produkten M . R1 för
massans utfyllning mellan S och a1 representeras af arean å
figuren a1 c t. Emedan nu M (R + R1) = M V, så angifver
följaktligen arean å figuren a1 c b1 produkten M . V och
nyssnämnde area är alltså proportionel mot M . V . p.
På samma sätt bevisas, att areorna å figurerna b1 d b2
b2 e b3 o. s. v. hvar för sig äro proportionela mot
transportelementet M . V . p mellan motsvarande sektioner.
Det i 8:o) sagda torde vid en blick på figuren inses utan
vidare förklaring.
Som det nu blifvit bevisadt, att areorna å de figurer, som
inneslutas mellan transportprofilen och en horisontel linie, äro
proportionela mot det variabla elementet i formeln för
transportkostnaden vid den fördelning af massorna, som för hvarje
sådan linie är karakteristisk, så följer, att, när summan af
dessa areor är ett minimum, transportkostnaden äfven har sitt
minimivärde. Frågan blir då: Hvar skall den horisontela linien
dragas, på det att nyssnämnde areors summa skall blifva ett
minimum? Är denna linie funnen, så har man genom att
projiciera upp dess skärningspunkter med transportprofilen till
längdprofilen fördelat massorna så, 1:o) att gräfning och
fyllning gå jemnt ihop mellan dessa sektioner; 2:o) att denna
fördelning gör transportkostnaden till ett minimum. Den sökta liniens
läge framgår af följande betraktelser. Om vi tänka oss en
horisontel linie som skär transportprofilen, låt vara OO1, så
synes att för detta läge summan af bergfigurernas baser är större
än summan af däldfigurernas. Flytta vi linien uppåt ett stycke d, så
ökas däldareorna och minskas bergareorna; men af hvad nyss
blifvit yttradt följer, att vid denna förflyttning bergareornas summa
minskats mera än summan af däldareorna ökats, och således
att totalsumman af berg- och däldareor minskats. Huru länge
fortfar minskning i denna summa att ega rum vid liniens
flyttning uppåt? Naturligtvis tills bergbasernas summa blir lika
med däldbasernas; ty gå vi öfver det läge, då detta inträffar,
blir däldbasernas summa större än bergbasernas och
således ökas vid en elementär förflyttning däldareorna mera än
bergareorna minskas – d. v. s. totalsumman ökas. Den linie,
som har summan af bergbaserna lika med summan af
däldbaserna, är alltså den sökta.
Denna linie finnes lättast på följande sätt: Man drager
först en försökslinie, som för ögat synes uppfylla nyssnämnde
vilkor och uppsöker sedan felet – eller skilnaden mellan
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
