Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
70
TEKNISK TIDSKRIFT
Vidare är momentet i snittet a—a
l l—X
M. —[ql-\- mdzwPy
(I — z)2\
m dz co2y ■ z
(a)
Vi derivera med avs. på x och erhålla
i
d^ = V==-ql-lmdzco*y+q(l-x) + S.^ +
l—X
-f [mdz æ2y,
och
d2Mx dV , , c d*y
Om vi beakta, att för positivt moment Mx =
,d2y
El
fås sålunda ur (c)
d’y
El ■ —\ = q + m m2y
Införes slutligen beteckningarna
i
k
dx2
och
"= + S/:
CO’
M
2 EI-I
S
2 El’
a’ty
dx1’
kly + 2 a2
d2y
dx2
k1-
9
och (1A) övergår då till
ti
dx4~
kly+ 2 a2
d2y
dx2
0.
d^y
dx4
— k*y + 2 a2
d2y
dx2
= 0
införa vi exponentialfunktionen y
ux
efter differentiering den karakteristiska ekvationen
k4 + 2 a2 u2 — /c4 = 0
erhålles. Denna har rötterna ul = \ y/c4 -fa4 — a2 =
18 febR. 1928
= i + a4 + a2 = tpi och
(1 A)
= + <P> m2 = — <P>
M4 = — yji.
Integralekvationen blir således
„ „<PX i „ „ —cpx . „ wix . „ —
^ = Ci e +c2e ^ -(- csr +c4e ^ ,
eller, om vi göra bruk av de s. k. Eulerska formlerna1
och ombyta integrationskonstanter samt medtaga den
g
partikulära integralen yt —
till ekv. (1 A)
y = A coshyp <px B sinhyp cpx + C eos ipx -f-
+ D sin y/x —
CO
(2 A)
Enligt fig. (1) lösas de arbiträra
integrationskonstanterna A, B, C och D vid uppfyllandet av rand villkor en:
för x — 0 är
‡ =0
dx
ti
dxz
= 0 (F= 0)
( v = o
2 — V x — )
■• (c)
d2y
dx2’
.. (1)
Härav B = D
samt C =
[dx2
g
yr
^ °C ^ co2 (9s2 -(- y2) coshyp
q y,2
k1 El (cp2
cp2
y>2) coshyp 99Z
co2 (cp2 + y>2) eos yjl k4 A7 -)- y2) eos ^
Om vi i det följande iakttaga, att
cpl \Jy/pj4 4- («Z)4 — (qZ)2 ............ (4)
och = VV(W+™H"4 + M2 ............ (5)
samt dessutom för enkelhets vinnande införa faktorn
1 1
1 = ((pl)2 + (xpVf * 2 vW + ...... (6)’
fås efter insättning av värdena på A och C i ekv. (2A)
V —
iw
Ql3
•(wk
(cpl)2 eos ipx
+
där M = 2 Im — totala massan, övergår ekv. (1) till
Uttrycket (1A) är differentialekv. för elastiska linjen
och beakta vi, att denna ekvation strängt taget blott
gäller för det ögonblick då axeln under rotationen
passerar utgångsläget i vertikalplanet. Då axelns kritiska
hastighet uppnås (co*r), eller om denna är vertikal, gäller
däremot (1A) för alla lägen mellan 0—2?t, enär då i
förstnämnda fall axelns belastningsintensitet (q) är
mycket ringa eller = 0 i jämbredd med niofy. I senare
fallet, dvs. om axeln är vertikal, bortfaller q fullständigt
2El (ÄZ)4 L l eos ipl
(yZ)2 coshyp cpx \ _ 1
coshyp cpl 1 J ............ ^ ’
Uttrycket (7) är sålunda elastiska linjens ekvation.
För x = 0 i ekv. (7) erhålles speciellt nedböjningen i
axelns mitt
[V W? i W
2 El (ÄZ)4 L 1 leos Xpl coshyp cpl
fm =
Ekvationen för axelns vinkeländring vid ändarna ernås
genom att bilda derivatan J^^J till uttrycket (7).
Sålunda fås
Ql2 X (
tg 2 El (kty
2 1 (pl -tg yl — ipl ■ tg hyp yzj.. (9)
Vi återkomma till ovan anförda senare. Vid
utveckling av ekv. (1A) ger oss sålunda denna de största,
under varje omlopp förekommande momenten och
spänningarna etc., vilket givetvis i första hand är av intresse.
För integrering av den homogena ekvationen
Deriveras (7) två gånger fås sålunda, enär Mx
d2y
= —El den generella böjningsekvationen
Ql ]eos ipx coshyp cpx\
r ......
® 2 [eos yjl coshyp cpl) v
vilket uttryck för x = 0 ger oss det största positiva
momentet i axelns mitt
varigenom
M Ql J 1
Mmnr = — • /
\
2 ’ \cos yjl coshyp cpl I’
(11)
,y>ix .
i yJx + i sin y>x och e~Vix — eos y>x — i sin y>x, (i=\J—l).
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
