Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
26
l. 1
A Wi— - (I ■ {y"† dx — (V)2 dx > O
0 0
Sättes slutligen x — It erhålles, om derivatorna nu
hänföras till t
i
A W — c 11 ■ O")2 dt— I (ff dt> 0; c = A ... (3)
o o
Den raka stavforinen är således stabil, så länge för
varje y(t) uttrycket A W blir > O, och upphör att vara
det, så snart det finns funktioner som göra AW<0.
Själva gränsfallet erhålles därigenom, att man
bestämmer den funktion y(t), som gör AW till ett minimum,
och avpassar konstanten c så, att detta minimum blir
noll. Detta för på ett eller annat sätt till en
differentialekvation för y.
För många stavf ormer är emellertid I(x) av sådan
art, att denna differentialekvation blir besvärlig eller
omöjlig att lösa, varför man nödgas använda
approximationsmetoder. Den skisserade lösningsmetoden för
oss nu utan vidare till att försöka med följande
approximativa lösning. Man väljer någon lämplig
funktion y’ = u’ (t), bestämmer konstanten c0 så, att
1 i
c0 j I ■ (u"† dt = I (u’†dt ............ (4)
O 0
och erhåller sedan ett approximativt värde på den
sökta kraften I\. ur
_ E
Föppl1 gör ett försök i den vägen, men den av
honom antydda metoden blir alltför arbetsam, särskilt
om man vill hålla möjligheten öppen, att genom att
förse tröghetsmomentet l{x) med en parameter
samtidigt undersöka flera stavformer. Detta beror därpå,
att han ser problemet alltför fysikaliskt och enligt
den för böjningsproblem lämpliga Ritzska metoden
vill anpassa den elastiska linjen så mycket som
möjligt till den förmodade formen. Det visar sig
emellertid, att man kommer betydligt lättare fram, om man
betraktar det hela som en rent matematisk uppgift.
Genom att använda integralekvationer finner man
nämligen följande:
Det exakta värdet C och den därur följande exakta
lösningen Pk erhålles endast, om den exakta
lösningen y(t) insattes. Vid insättning av varje annan
funktion u’(t), som uppfyller gränsvillkoret u’(l) — 0
och är kontinuerlig, erhålles ett värde c0 som år
mindre än det exakta värdet C, alltså ett för stort
värde på den kritiska kraften Pk.
Man kan alltså insätta en godtycklig funktion, som
uppfyller dessa villkor och dessutom innehåller en
eller flera parametrar (obestämda konstanter) och
sedan bestämma parametrarna så, att c0 blir så stort
som möjligt. Om man nu vid valet av lämplig
funktion i stället för att tänka på den elastiska linjens form
försöker att få enkla integraler, föres man till att
försöka med u’(<) = tk - 1, ty denna funktion är
kontinuerlig, uppfyller gräns villkoret w’(l) = 0,
innehåller en parameter k och för till lätta integraler.
Insättes alltså denna funktion i ekv. (4), erhålles
23 febr. 1929
för c0 ett uttryck, som innehåller den obestämda
konstanten k, och man har endast att söka efter ett
Tevärde, som gör c0 till ett maximum eller åtminstone
kommer detta maximumvärde nära. Med detta
c-värde erhåller man sedan ett approximativt värde på
den kritiska kraften Pk, som i många fall kommer det
exakta mycket nära.
Eftersom det endast erfordras en enda parameter
för erhållande av användbara värden, får man en
möjlighet att komma åt problem, där också
tröghets-momentet innehåller en parameter. Slutligen inses
utan vidare, att metoden också kan utsträckas till
stavar, som äro vridbart lagrade i båda ändar och äro
symmetriska i avseende på ett vinkelrätt plan genom
den elastiska linjens mittpunkt.
Det torde räcka med att anföra de följande
exemplen. I ovan citerade arbete har jag löst ett flertal
exempel, bl. a. även för variabel belastning.
Som första exempel betrakta vi stavar av formen
/ (x) = l0 ^ 1 -f- m • ’^j, dvs. att tröghetsmomentet skall
variera linjärt mellan värdet I0 vid stavens fria ände
och l0 (1 -(- m) vid den infästa.
Jag väljer detta speciella exempel, därför att det
med annan metod finns behandlat i P. Stephans
lärobok1.
Vi ha alltså att lösa ekv.
l. i
E j I0(l + m |j (yydx = P [ (y’† dx
o o
E I
eller med x=zl ■ t och c = ——
P V
c j (1 -f m t) (y"† dt — j (y’† dt.
o o
Sättes alltså y’=tk— 1; y" = kt" erhålles
?. 1
c k2 J (1 + m t) ■ t2 k ~ 2 dt — JV— l)2 dt,
o o
och genom integration
k*c (wi+ 2A-) = (2 F+ 1 - k " 1 +1) =
2 k-
¥+ ipTi)
eller
1 __ (Ä + 1) (2 A + 1) (2 Ä + 2 Ä m - m)
c= 4 k (2 k — 1) "’" ^
Gäller det endast en viss stav, känner man m-värdet
och kan insätta detta i det erhållna uttrycket. Genom
att på försök insätta några A-värden och ordna dem i
en tabell eller kurva finner man mycket snart ett
ungefärligt maximumvärde för c, dvs. ett minimumvärde
för —. Det går emellertid lika fort att genast skaffa
sig en kurva, som gäller för alla m-värden, som
äro > 0.
Sätter man nämligen — — y och m — x har man allt-
TEKNISK TIDSKRIFT
1 A. und Li. Föppl: Drang und Zwang-, Bd. II, S. 327
(München und Berlin 1920).
1 P. Stephan : Die techn. Mechanik des
Maschineningenieurs, Bd. IV, sid. 229 (Berlin 1922).
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
