- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1930. Mekanik /
145

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

20 sept. 1930

MEKANIK

145

BIDRAG TILL UTREDNING OM STAVARS ELLER AXLARS
TRANSVERSALSVÄNGNINGAR JÄMTE KRITIK AV
LÖRD RAYLEIGH’S DIFFERENTIALEKVATION.

Av ingenjör R. J. Bylund, Malmö.

För en obelastad kort stavs eller axels fria,
odämpade trän sversalsväng’ning’ar har hitintills gällt den av
Lörd Rayleigh1 uppställda, partiella
differentialekvationen

Ei^y + m^-S

_4 i

dx4

dt2

Vy

dt2dx2

= o,

(i)

vilken sålunda gäller för godtyckligt
uppläggnings-sätt, såsom fritt upplagd på två stöd, inspänd — fri,
fri — fri osv.

Denna ekvation, eller motsvarande för de kritiska
hastigheterna, vilken finnes härledd i ett flertal andra
kända arbeten2, skall här nedan bliva föremål för
närmare granskning och kritik. Vi beakta, att
termerna i tur och ordning, från vänster räknat,
symbolisera ett stavelements elastiska motstånd, som
vill förhindra svängningen samt tröghetskrafterna
vid den translatoriska — resp. rotationsrörelsen hos
samma skivformiga masselement. Dessa tre krafter
äro i jämvikt enligt D’Alemberts princip. Den
sistnämnda termen i (1), som alltså representerar
rota-tionströghetskraften och verkar i xy-planet (se fig. 1),
har emellertid endast praktisk betydelse för relativt
korta axlar. För långa axlar kan sålunda nämnda
term utan vidare försummas, varigenom (1) övergår
till den ännu mera kända och hitintills oantastbara
ekvationen



(2)

Lösningarna till ekv. (2), och även i viss mån till
ekv. (1), gällande för de speciella uppläggnings- eller
infästningssätten äro väl kända i befintlig litteratur3.
Vid kontroll och jämförelse med nedan visade nyare
teorier återkommes dock längre fram i uppsatsen till
dessa lösningar.

Då nu den sista termen i ekv. (1), eller ekvationen
i sin helhet, endast har betydelse för kortare axlar,
bör man aprioriskt även därvid taga hänsyn till
skjuvspänningarnas inverkan på elastiska linjen, enär
som bekant dessa skjuvspänningar bidraga till att
utböjningarna eller svängningsamplituderna ökas.
Detta har självfallet till följd, att i verkligheten
egenfrekvensen coe minskas och svängningsperioden

Te — — ökas relativt motsvarande kvantiteter, då

we

hänsyn icke tages till skjuvspänningarnas inverkan
i ekv. (1).

Ekvationen (1) är sålunda icke sträng, utan
densamma ger värden på egenfrekvenser, vilka i vissa

1 Se Lörd Rayleigh: "Die Theorie des Schalles."

2 Prof. Tallqvist: D. T. V. "H. T. Dynamik", W. Hort:
"Technische Schwingungslehre", m. fi. arbeten.

s Se exempelvis prof. Tallqvist: D. T. V. "H. T.
Dynamik" eller Stodola: Die Dampf- und Gasturbinen, uppl. 1924,

m. fi. arbeten.

fall — i synnerhet vid översvängningar eller
övertoner —■ i väsentlig grad avvika från de värden,
vilka nedan deducerade, exaktare formler giva.

Att ovan anförda icke är av fiktiv art, skall sedan
tydligt påvisas, och, emedan egenfrekvenser och
kritiska hastigheter hos kortare axlar icke äro
identiskt lika, skall även detta sakförhållande närmare
studeras, varvid påvisas, att också de nya kritiska
hastigheterna, vilka ju i konkreta fall erbjuda det
största intresset, likaledes i betydande grad avvika
från de äldre av Stodola påvisade. Av det hittills
nämnda torde väl framgå, vad som i huvudsak är
att vänta av denna uppsats. Ytterligare
kommentarer kunna självfallet endast göras i samband med
den matematiska behandlingen av ämnet. För
vinnande av överskådlighet och klarhet kommenteras
nu först ovan och i det följande använda
beteckningar.

E = materialets elasticitetsmodul,
G = materialets skjuvelasticitetsmodul (glidmodul),
I = stavsektionens konstanta tröghetsmoment med

avseende på dess neutrala axel,
F — tvärsnittsarean,

tröghetsradien,

VI

M Q

m — —- = -— stavens massa pr längdenhet (dim.
L gL

kgsek2 cm ),

m

q = — = materialets täthet (dim. kgsek2 cm )
b

Q — qI — mi2 = stavelementets ekvatoriala
mass-tröghetsmoment pr längdenhet (dim. kgsek2),
ß == en konstant som är beroende av tvärsnittets,

form,
S = axialtrycket,
,MX= böjningsmoment,
Tx = skärkraft.

Övriga i det efterföljande förekommande
beteckningar förklaras, när så tarvas.

a) Fria transversalsvängningar.

Om staven genom en yttre impuls bringas ur sitt
jämviktsläge och därefter överlämnas åt sig själv,
kommer den i svängning under inflytande av
densammas elasticitet. Är staven i vila, horisontal, har
den givetvis innan svängningens början en viss
statisk nedböjning på grund av egna vikten. Denna
statiska nedböjning kan försummas, emedan
svängningen försiggår just kring detta jämviktsläge i vila.

Om vidare perioden = —, kallas här coe = för

COe J-e

egenfrekvens, dvs. antalet svängningar på tiden 2
n-Såsom framgår, har även införts en axiell
tryckkraft i formlerna, emedan detta kan vara av intresse
och kan förekomma i praktiska fall.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Tue Dec 12 02:10:50 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1930m/0147.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free