Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
148
TEKNISK TIDSKRIFT
15 nov. 1930
Detta uttryck deriveras slutligen tvenne gånger och
liksättes med (13), varigenom analogt med (5 A)
erhålles
a) y’ = A cpi sinh <pt x -f B cpt cosh <pt x —
-— C ipi sin y>t x -f B xpx eos yjt x
b) y"= cpx2 (A cosh <pt x + B sinh <pt x) —
— xpi2 (C eos x + B sin xpt x)
(18 A)
_ , , ßEI ,\d2y
GF m ) dx2
■vi ex? y = m co2 g.
(14)
Även här införas beteckningarna
m co2
kS-
och
El + ß~i2(@æ2—S)
S+@co*(ß^-l)
E " ’
El + ß -i2 (&æ2—S)
varefter ekv. (14) har utseendet
(15)
2 aj2
diy + 2 „ 2 d2y
(15 A)
(16)
Jämföras ekv. (9) och (16), finner man, att dessa i
huvudsak överensstämma med varandra. Om man
bortser från den konstanta störningsfunktionen k^e
i (16), är den enda skillnaden, att koefficienterna k4
och kj4 resp. 2a2 och 2c^2, äro olika, enär den från
Villkoren för konstantbestämningarna äro:
Härav fås
A + C = g,
A cpi2 — C Vl2 = 0,
A cosh cpi L + B sinh /p± L + C eos xpx L + B sin %p1L = e,
A cpx2 cosh cpi L + B cpt2 sinh cpxL — C ip^1 eos iptL —
— B ipi2 sin yi Z = 0.
Om slutligen beteckningen <5=1: (ipt2 -f cpx2)
införes, fås enkelt A = <5 g xpx , C = d ecp^2, B = deipx2 ■
■ -— fi L _ — ^ e 2 tgh _ i och D _ fi g „2 .
smh cp\L
• -—= d s cp-? tg wi l. Om dessa värden
in-sin y>i L T
sättas i (18), erhålles elastiska linjens ekvation
y = de
rr
sin ipt L
2 ^
(sin (Z — x) + sin x) ^^ ^ (sinh cPl (L — x) + sinh <pt x) — -J (19)
rotationströgheten resp. gyralverkan hörande termen
Q co2 har motsatt tecken. Dessutom må självfallet ej
förbises, att ekv. (9) icke är en funktion av tiden,
enär genom Substitutionen (7) i (5) ekv. (9) vid
tiden t = 0 gäller då staven under svängningen har
sin största utböjning.
C) Tillämpning av de generella grundformlerna för
beräkning av kritiska hastigheter och egenfrekvenser.
Vi skola nu studera det i praktiken mera vanliga
och från matematisk synpunkt sett enkla fallet, att,
såsom i fig. (2), specialfall 1: staven är fritt upplagd
på två stöd.
a) Kritisk hastighet
Av utrymmesskäl hänvisas beträffande den
fullständigare integrationen av ekv. (16) till författarens
förut omnämnda uppsats i Teknisk tidskrift.
Enär en partikulär integral till den homogena ekv.
(16) utan högra membrum är
y = eux,
fås alltså genom insättning i (16) den karaktäristiska
ekvationen
w* + 2 ai2 u2 — kf = 0.
Denna har de fyra rötterna
Ul :_2 = ± Vl = ± V W + «i4 — «i2,1
och . - } (17)
= ± fri = ± iVVki1 + af + ax2. J
Härav den allmänna integralen
y = A cosh cpi x -f B sinh cpiX
+ C eos %px x 4- B sin y>t x — g....... (18)
För bestämmande av de fyra villkorliga
konstanterna A -4- B bildas derivatorna
till (18). Alltså med förkortade
derivatabeteckningar
Såsom kontroll kunna vi nu satisfiera ekv. (16)
genom att insätta detta värde på y.
Omedelbart inses, att i (19) y —>- 00 om i nämnaren
sin yji L —y 0. Om sålunda sin L = 0, tarvas, att
ipi L = Ji, 2 ti, 3 71......In-
Dessa värden på xp^L svara således mot en hel serie
kritiska hastigheter.
Faktorn X anger svängningens art enligt fig. (3)
så, att för X = 1 fås grundsvängningen, varvid
elastiska linjen endast har en svängningsbuk i stavens mitt
och för X = 2 fås första översvängningen eller
övertonen, då tvenne svängningsbukar och tre noder
förefinnas osv.
Då alltså generellt, för X = 1, 2, 3,......n,
A 71 X 71
2I = "Z’
skall — med beaktande av ekv. (17)
X
uppfyllas,
dubbel kvadrering och hyfsning
— ekvationen
Härav genom
• 2 a2
Z2
■ kj4 = 0.
(20)
Z4
Insättas slutligen i (20) värdena på koefficienterna
enligt (15) och (15 A), erhålles efter hyfsning värdet
på de kritiska hastigheterna för godtyckliga
grund-eller översvängningar, då axialtryck är rådande.
0)kr, = i r x^n1 0’ ’VII V ii
’ ML3 j ■{l + *> (I)’}’
(21)
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
