Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
20 sept. 1930
MEKANIK
149
Sättes nu i (21) axialtrycket S =z 0, fås
vari faktorn ækro är identisk med det välkända
uttrycket för den kritiska hastigheten
j/S-»-^V^ (23)
gällande för långa axlar, då hänsyn icke behöver
tagas till skjuvspänningarna och stavelementens
resulterande gyralverkan.
I detta sammanhang påminnes om, att (23) även är
en lösning till ekv. (2), ty man kan lätt övertyga sig
om, att en funktion
stränga lösningen till (9) genomföres, enär därigenom
ett klarare begrepp
erhålles om hithörande och
analoga spörsmål; dock skall
av utrymmesskäl endast
specialfallet 1 studeras.
Analogt med (17) fås
V = / Sin
X n x
COS CO* t,
1
(okr, — cokr
= 0)kr • fi2) (24)
vilken formel sålunda är identisk med den äldre,
såsom sträng ansedda men inkorrekta ekvationen.
Detta uttryck, vilket t. e. visats i en tidigare
upplaga av Stodolas bekanta bok,2 är alltså baserat på,
att elastiska linjens ekvation inkorrekt i detta
sam-,d2y
manhang är JMx — — El
dx2’
Ekv. (24) bör följakt-
ligen icke användas numera.
Koefficienterna och fi,ä i ekvationerna (22) och
(24), vilka alltså representera de inverterade värdena
av resp. rotuttryck skola i ett senare avsnitt i
samband med analoga koefficienterna och x2 för
egen-frekvenserna upptecknas på grafisk väg, varigenom
överskådligt framhäves skillnaden mellan de nyare
och äldre teoriernas resultat.
b) Egenfrekvens (cirkelfrekvens).
Med kännedom om nyss funna lösningar och genom
jämförelse av ekv. (9) med ekv. (16) kan man gissa
sig till de resultat, vilka erhållas genom integration
av (9). Trots detta skola vi i korthet visa, huru den
1 Författaren har genom kritik av prof. K. Ljungberg
blivit underrättad om denna slutliga lösning (22).
2 I uppl. 1905 av "Die Dampfturbinen" förekommer denna
formel skriven i formen
«*r„
■V-
TT4 El
16 ml1 /r_ ’
l 4 mlV
Densamma kan synbarligen transformeras till en med (24)
fullkomligt identisk form, om för grundsvängningen % — 1.
(25)
här kvantiteterna
cp = F]/fc* + et" — a2
y, = Vi/k* + a4 + a2)
vari värdena på A4 och 2a2 enligt (8 och 8 A)
observeras. Allmänna integralen till den homogena ekv.
(9) och derivatan z" är
a) z — At cosh cp x + sinh cp x -f Cx eos ip x -j-’
+ Oj sin yj x
b) z"= A1 cp2 cosh cp x -f cp2 sinh cp x —
— Ct ip2 eos y> x — Dt xp2 sin yj x
(26)
; = 2Z = L{*„
= 0,
0.
där / = max.-amplituden vid svängningsbukarna för
godtycklig ton, uppfyller ekv. (2), om u>kl.g har
värdet enligt (23). I förevarande fall, då stavelementens
rotationströghet och skjuvspänningarna kunna
försummas, är således den kritiska hastigheten identisk
med egenfrekvensen. Vidare försumma vi i (22)
skjuv-spänningarnas inverkan, vilket ju innebär, att termen
innehållande ß sättes — 0.
Vi skriva alltså
samt villkoren för konstantbestämningarna
*) „ (2=0, , 2)
®= V= 0(^=0), och * =
Härav fås enligt de första villkoren 1) att
At + Ct = 0,
A1 <p2 — Ct v2 = 0,
varav Ax (cp2 + ip2) = 0. Nu är (cp2 + tp2) 4= 0; alltså
måste A1 = C1 = 0.
Men härigenom övergår (26 a och b) på basis av
villkoren 2) till
B1 sinh cp L -f Dt sin ip L — 0
B1 cp2 sinh cp L — Di ip2 sin xp L
Om den övre likheten multipliceras med ip2, fås efter
addering
Bt sinh cp L (cp2 + ip2) = 0.
I enlighet härmed måste Bt = 0, enär <p2 + y2 =)= 0
och sinh rpL = 0 endast om cp = 0, vilket strider emot
relationen (25). Det återstår sålunda att subtrahera
ekvationerna (26 A), varvid fås
2 Dt ip2 sin xp L = 0.
Då ip2 =j= 0 och alla fyra konstanterna At -4- D, icke
kunna vara = 0, är det synbarligen rationellt att
sin yj L = 0,
o}... (26 A)
dvs.
och
ip L — 71, 2 71, 3 71 ......... A 71
V =
L
YyT*
+ a4 -f a2
Med beaktande av (26 a) är sålunda integralen till
(9) vid tiden t = 0
2 = ülSin^ ............... (27)
och då enligt ekv. (7) mera generellt men med
obestämd frekvens co
y = z eos cot,
erhålla vi slutligen såsom integral till diff. ekv. (5)
/i JZCC
y = D! sin —— eos cat.......... (27 A)
I ekv. (27) och (27 A ) är = konstant och
betyder ingenting annat än svängningens maximiamplitud
vid svängningsbukarna. Då exempelvis tiden t = 0
och x = 9 är således (se fig. 3)
Li A
y = Dv
Värdet på D1 kan givetvis icke fixeras i detta
sammanhang. Om den alltid närvarande dämpningen,
dvs. luftmotstånd och inre friktion hos staven alldeles
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
