- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1935. Elektroteknik /
140

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 9. Sept. 1935 - Om den asymptotiska formen på insvängningsförloppet vid en homogen rationell kedjeledning, av Konstantin Dahr

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

140

T EK X i S K TIDSKRIFT

7 sept. 1935

Är nu a ett enkelt nollställe till A (a), blir:

s) = V [

A(p-\-d)
Vidare är:

B(p + a) = B(a)-

4’ (a) + A" (a)

V



B>

{a).l+B"(d)

p1

och alltså:



A [p-fa)
B (p-fa)

P+a

= V

A’Jd)
B (a)

V B (a)

\Jp

1

i iÄ («) /

v

V + «

F [P + a)

V

V 1

— oc

— a a

p 2 k



(17 a)

1

IA {a)
B (a)



o1 V

(18)

så erhålles vid hopslagning av (17) och (17 a)

/„ (t) 4 /„ (t) oo 2 k — ■ eos (co t —|— <pj (19)

\Jn t-fi

eftersom ju

1 7/15= 1 v fA!M

a v B[d) a\ B(ay

Formlerna (17), (18) och (19) giva oss också
omedelbart bidragen från de enkla nollställena till
B (p). Av (14) ser man nämligen, att man endast
har att utbyta A mot B, a mot ß och tillfoga faktorn
(— 1)* i dessa formler.

Om a är en 2 w-faldig rot till ekvationen A (p) = 0,
måste A (p) vara av formen (p — af" ■ A1 (p), där
A1(a) =j= 0; faktorn (p — a)n kommer alltså utanför
rottecknet, och p — a ’àr icke någon singulär punkt
för r(p).

Annorlunda blir förhållandet, om a är ett nollställe
till A (p) av udda ordning. Är exempelvis a ett
trefaldigt nollställe, blir

’A’" (a) A"" (a)

A(p-

a>= f [’

ü 1 i±

och i stället för (16) erhålla vi en utveckling, som
närmast origo får formen

F(p + a)-



/ A"’(a) ,

\/p]

Nu är: \Jp ■ H (t) =

\Jn

2

• t~?-H(t), och alltså

p2- \jp ■

Om vi nöja oss med att taga hänsyn till den lägsta
potensen på p blir därför:

H(t) =
1

\jn

dt2
1-3
2 • 2

1

|In
• H

t~t. H{t) =

■ H(t)

Det mot (17) svarande asymptotiska värdet blir på
grund härav:

la(t) OO-

(20)

och om vi utveckla ytterligare, medtagande endast
de två lägsta potenserna på p:

k 3 / Am (a) eat

Enligt den åberopade satsen ur operatorkalkylen
har man att taga hänsyn till alla singulariteter till
funktionen F (p)/p. Om T (o) =j= 0 och A (o), B (o) =)=
=j= 0, är origo en dylik punkt av en enkelpols
karaktär. Formlerna (10) och (12) ge oss för q — 0 det
exakta uttrycket på det från origo härrörande
bidraget till V/c+i) nämligen

Eftersom II (— 1) = oo och R (— f) = — 4 ■
.//(£)=—2 \Jn, ger oss sedan (12) det
asymptotiska värdet

^ » v B (d) t \jt

gällande med godtycklig noggrannhet för alla
tillräckligt stora värden på t.

Om a är en komplex rot, säg a — — <5 + i a),
måste också a =c — <5 — i u> vara det. Sålunda
erhålla vi i detta fall även beståndsdelen

l (t) k 1 i/A’{a)

S/n « V B[a]t fi

Införes för korthets skull beteckningen

M’)

JA (o)

V B (o)

1



B (o)



(21)

Detta uttryck framställer det stationära värde,
varemot spänningen asymptotiskt tenderar.

Formel (21) måste uppenbarligen modifieras, om
origo är ett udda nollställe till A (p) eller B (p). Är
exempelvis a — 0 ett enkelt nollställe, få vi istället
för (16):

F (p a) ■ ^ P - = F(p) oo 1 -

jjy \’P (22)

h (t)

1

(23)

u. 2 k ■ i/—
p +a V B

och alltså istället för (21) det asymptotiskt giltiga
uttrycket:

2 k l Ap) 1

Vb"[o]’ fi

Det stationära värdet blir således 1, i samklang
med formel (21), eftersom nu F (o) = 1.

De ovan vunna resultaten kunna vi sammanfatta i
följande sats:

Det första asymptotiska uttrycket på spänningen
Vk + 1(t) = [r (p)Y ■ H (t) (24)

längs en homogen, rationell kedjeledning, har alltid
den analytiska formen

„- »t

vk + 1[t)eeir(o)f + lk.V-

eos (æt-\-(p) (25)

t"-fi

där n betecknar ett helt tal > 0. Summatecknet
svarar mot det fall, då flera udda nollställen till A (p)
och B (p) ligga på samma med den imaginära axeln
parallella räta linje.

Av fysikaliska orsaker inses, att polynomen A (p)
och B (p) måste vara sådana, att nollställena falla i
vänstra halvplanet, dvs. <3 < 0. Likhetstecknet här
svarar mot det idealiserade fall, att ledningen är
förlustfri; detta är tillnärmelsevis realiserbart och av
praktisk betydelse, då det brukar vara enklare att
diskutera.

Enligt samma metod låter sig naturligtvis den
slutliga formen på vk+i (‡) bestämmas vid godtycklig

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Tue Dec 12 02:17:49 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1935e/0142.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free