Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Mekanik
Integralekvationen för energiutbytet genom strålning.
Not till föregående artikel.
Av docent E. HALLÉN.
Det av civilingenjör Johansson angivna lineära
ekvationssystemet (23) för beräkning (efter av
praktiska skäl förestavad medelvärdebildning över
delytorna) av instrålningen till olika delar av väggarna
till ett slutet strålningsrum under hänsyn till den i
oändlighet upprepade reflexionen mellan
begränsningsytorna är utan tvivel ett översiktligt och
praktiskt synnerligen gott medel till bemästrande av det
betraktade problemet. Snarast kan man förvåna sig
över att den upprepade reflexionen ända hittills
behandlats approximativt med serier (förutom den
genomgående använda approximerande
medelvärdebildningen) i stället för med ett dylikt
ekvationssystem.1 Man kan fråga sig, vilken inverkan den
hos Johanssons ekvationssystem enda kvarstående
approximationen, medelvärdebildningen, har på
resultatet. Det skall här visas, att hans
behandlingssätt i själva verket nära ansluter sig till den exakta
och rent matematiskt sett även lösbara formuleringen
av problemet, vilken utgöres av en integralekvation
för den sökta instrålningsintensiteten. I vissa enkla
fall fås mycket lätt ur denna den exakta lösningen.
Med användande av samma beteckningar som
Johansson, med undantag av att
reflexionskoefficienten betecknas med q för att förväxling med avståndet
r skall undvikas, finner man som exakt uttryck för
instrålningen Et pr tids- och ytenhet mot ett
godtyckligt ställe av begränsningsytan till ett rum. vars
väggar utsända värmestrålningen sEe; (e-f-gr=l):
+ 1
\ Eet eos ax eos as „
nfl
’qs Eis eos ax eos a
ti r2
+
Qx x "I- £x ^ex — ^ex "f~
"(Q. Ei> + «s Ees) Qx eos ux eos as
ti r2
i Utan att publicera eller ens veta att metoden tycks vid
dåvarande tidpunkt ha varit originell, har jag år 1921 vid
en beräkning av belysningen till ett rektangulärt rum funnit,
för det speciella fallet, samma ekvationssystem (23), som
Johansson här publicerat, och som medtar hela den i
oändlighet upprepade reflexionen mellan väggarna utan serier.
där q Ei -f- sEe kan preliminärt betraktas som den
obekanta. Om Fxs [beteckning för r (x, y, s, t),
där x, y respektive s, t äro lägekoordinaterna
på ytan] är den resolvent som hör till kärnan
p, eos a„ eos a, , ..
–-„––––- , och som kan anges explicit genom
ti rl
den Fredholmska kvoten, så är lösningen till
ekvationen:
Qx Eix -)- sx Eex — exEex -|- f Fx,es Ees d F„
varav:
Eix=/rxs ° Ee,dF,
Qx
(II)
dF,+
dFs ......... (I)
som är den exakta lösningen till problemet.
Johanssons lösning (24) kan uppfattas som samma, blott att
integralen i (II) ersatts med en ändlig summa, vilket
ger ett noggrant värde i samma mån som antalet
delytor väljes stort. Att använda blott mycket få
delytor kan däremot befaras i allmänhet göra
approximationen grov. Man kan nu vänta att de av
Johansson uppställda relationerna (26) och (28), som
reducera antalet oberoende av honom införda
"vinkelförhållanden vid strålningsrum med grå ytor", skola
motsvaras av vissa egenskaper hos resolventen i ekv.
(II). Så är också fallet. Som den ifrågavarande
kärnan består av en faktor qx blott beroende av
,. , , eos ax eos a, . .,,
punkten x, y och en faktor ––-— ’ i vilken
punkterna x, y och s, t, kunna bytas, gäller som en
följd av en sats av E. Schmidt1 om resolventen, att
r r
= xs .................. (III)
Qs Qx
Identifierar man Fs i Johanssons ekv. (24) med
Här kunna Ee e och q få anta och Ei antar i allmänhet
olika värden i ytans samtliga punkter, r är
avståndet mellan de punkter på ytan som angivits med
index x och s, ax och as äro vinklarna mellan
ytnor-malerna i dessa punkter och förbindningslinjen;
integralen skall sträckas över de delar av ytan som
ej äro bortskymda från punkten märkt x. Ekv. (I)
kan på sätt och vis sägas finnas hos Johansson
och erhålles, om (21 a) och (21 b) införas i (21)
och Fp utbytes mot d Fp samt den ändliga summan
ersättes av en integral. Det intressanta är nu, att
ekv. (I) är en regulär inhomogen FREDHOLMsk
integralekvation i två variabler för E(. Matematiskt
sett kan då E( exakt lösas. För att få enkla uttryck
skriva vi (I) i formen:
finner man att (28)
d F, i (II) och med 7
Qx
exakt motsvarar ovanstående symmetriegenskap (III)
hos resolventen. För att finna motsvarigheten till
(26) använda vi ett fall då (I) har en lätt åtkomlig
explicit lösning, nämligen då Ee är konstant över
hela ytan. Man har då, emedan o -f s — 1:
fcos a, eos a.
E; r — E.
dF, ->■•
ti r’
+
Q, {Eis — Ee) eos ax eos as
dF,
ti r-
Nu är
eos ar eos a.
d~Fs — d co den yta som utgör
/
projektionen på tangentplanet i punkten x, y av det
element av enhetssfären, som elementarkonen från x,
y till dFs utskär. Följaktligen är \ dco = n (jfr
ekv. 3 hos Johansson), och man får:’
i Qs (Eis — Ee) eos ax eos as
E:t- E. =
ti r z
’dF,
Denna ekvation har lösningen: Eix = Ee, vilket för
övrigt blott uttrycker det faktum, att vid konstant
i É. Goursat: Cours d’analyse iii, 3 :e éd., p. 458.
19 sEpt. 1936
139
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
