Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
skall svara mot rörets nummer. Men summan av alla
de oändligt många termerna skulle bli oändligt stor,
hur man än väljer punkten (x, y). Problemet har
heller ingen lösning, emedan värme blott tillföres
men ej bortledes i samma grad. Hela plattan blir
alltså oändligt starkt uppvärmd.
Den oändligt tjocka plattans problem måste därför
på ett eller annat sätt ändras, så att det blir lösbart.
Det förefaller att vara den enklaste ändringen att
tänka sig en andra rad av rör förefintliga, vilka ha
till uppgift att åstadkomma en tillräcklig kylning.
Dessa kylrör skola blott utgöra ett konstgrepp. De
äro införda för att problemet skall bli lösbart och de
skola försvinna ur räkningen igen, då den är förd
i-T0 o 9
KH 6
-T0 O 6 ö o^-o
Fig. 2.
så långt, att vederbörlig hänsyn till de plana
gränsytorna kan tagas. Utan bestående nytta ha kylrören
dock ej varit, ty med deras hjälp bestämmes värdet
på den viktigaste konstanten.
De rör, som ha axlarna x — ni, y — 0, skola alltså
ha yttertemperaturen T0 och de rör, som ha axlarna
x = nl, y — — b, yttertemperaturen — T0 (fig. 2).
En funktion, som uppfyller differentialekvationen
(1) och i första approximationen har de nyss angivna
egenskaperna får man genom att addera och
subtrahera termer av den form, som angivits i ekv. (5):
+ 00
/lVl [x— nl† + (y + b)2
F{x,y)=-l<log t ...... (6)
n — — 00
A är en konstant, som efteråt skall bestämmas, så att
temperaturen vid rörens väggar får det ovan angivna
värdet. Faktorn ]/2 gör de följande formlerna något
kortare. Serien är konvergent och framställer en
deriverbar funktion.
Då vi i nästa paragraf skola införa de plana
gränsytorna, behöva vi en annan framställning av
funktionen F (x, y), nämligen som en summa av termer,
där var term består av två faktorer: en som blott
beror av x och en som blott beror av y. En sådan
framställning får man, om man utvecklar F (x, y) i
trigonometrisk serie med avseende på x. Denna
funktion är i avseende på x periodisk med perioden
l och jämn. Trigonometriska serien har därför
formen
v, \ ao I 2nX
F{x,y)= "2+ai cos -j
-a, eos
2 n sx
T
dx.
Koefficienterna a, bestämmas på vanligt sätt och äro
beroende av y:
i
2
2 (’. 2snx
ö.= i \ F (*> y)cos i
t_
2
Sätter man in värdet (6) på funktionen F (x, y), kan
man skriva integralen på följande sätt och sedan
genom partiell integration överföra den på en bekant
integral (jfr t. e. Whittaker and Watson: Modern
Analysis, § 6.222, Example 4, S. 116, Cambridge 1927).
J-00
l
+ 00
x2 -I- y2
l
– (T
Sjtj Lx
x x I . 2snx
&+W+WJsm i =
J sir
= 5 Le ’ ~e ’ I-
\y\ betyder absoluta beloppet av y osv. Efter
elementära räkningar finner man
2 ti A
"o = —— [y + b — y \.
Alltså
71 •
F (x,y) = —f-[\y + !>’ — y|] +
-Zns\y\ 2ns\y-\-b\
li
s = 1
J2tisx
cos l ......
(7)
3. Förändringar i formlerna för de plana [-gränsytornas skull.
Då vi lyckats bringa funktionen F (x, y) på formen
(7), ligger det nära till hands att försöka följande
modifikation därav:
T {x, y) — F {x, y) - n-‡ f GlV + G,] - (y + 6) +
’ +firi(«)e ’ +
«=i
2 jz s y
+ ^2 {s)e~T
1 2 71
Jcos -
sx
(8)
Gj och G2 äro konstanter och gx (s) och g2 (s) äro
funktioner av den heltaliga variabeln s, som skola
bestämmas så, att gränsvillkoren (2) och (3) bliva
uppfyllda, dvs. så att man på rätt sätt tar hänsyn till
de plana gränsytorna. Man ser lätt, att var term i
(8) uppfyller differentialekvationen (1) och att de
termer gå ut, som innehålla b, då b är större än h2.
Därigenom äro de kylande rören åter borttagna.
I det följande skrives för korthetens skull gx och
g2 i stället för gx [s) och g2 (s). Insättning i
gränsvillkoren ger ekvationerna:
/ 2 jr s\ / 2 ti s\
–-j-J^+ffi]e 1 + Ui + -y-J 9i = O,
/ 2 ns\ Jjlll* ( 2 „s\
— i j (1 + Ø2) e i + (*2 -f l J gt = O,
(1 + G,) (1 +*1A1)+x1 G2 — O,
(G,-l) (1 +x2h2)-
, G, = 0.
Dessa ekvationer äro tillräckliga för bestämning av
de obekanta gx, g2, Gx och G2.
Inför man (7) i (8), så får man lösningen till
problemet i en av sina slutgiltiga former
71 A
00
71 X S t
2jzs\y\ 2nsy
e —~i—Jrg1e r" +
s = 1
ZjElll 2 7isx
1 f/2 a i |eos
(9)
26
20 mars 1937
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
