Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
manlagringsberäkningar för sådana fall då det är
fråga om slumpvisa sammanlagringar av större
antal oberoende delbelastningar. Det här omnämnda
beräkningsförfarandet med successiva
sammanlagringar av delbelastningar två och två blir emellertid
i dylika fall rätt besvärligt. I sådana fall kan
emellertid, såsom i det följande skall visas, ett enkelt
närmeförfarande för beräkningen av
summakarakte-ristikan tillgripas.
Beräkning av medelvärden och spridningar.
Som förberedelse måste först beräkningen av
tvenne storheter beskrivas, vilka i olika avseenden
känneteckna en sannolikhetskarakteristika, eller rättare
den värdefördelning, karakteristikan framställer.
Dessa storheter äro medelvärdet och spridningen.
Medelvärdet a för en föränderlig storhet x
framställes naturligtvis av ordinatornas medelhöjd hos
karakteristikan för storheten (fig. 6). Spridningen s
åter utgör ett mått på avvikelserna från
medelvärdet och definieras såsom det kvadratiska
medelvärdet av dessa avvikelser, dvs. för
"spridningskvadraten"0 s2 gäller likheten
i
s2 = j(x — a† dw.
o
Värdet av s2 —■ och därefter naturligtvis även
s — kan alltså erhållas sålunda, att man med
ledning av karakteristikan för x beräknar (x — a)2 som
funktion av w och därefter på vanligt sätt
integrerar —• grafiskt eller numeriskt — mellan gränserna
w = 0 och w r= 1. Ett annat, i fig. 7 visat
förfarande, grundar sig på Leibniz’ sektorformel10:
Avvikelserna (x—a) från medelvärdet överföras från
karakteristikan i ett polardiagram. Kurvan genom de
så erhållna punkterna i polardiagrammet omsluter en
yta, som — mätt med skalan för (x — a)— är lika
med n s2/2. Om denna yta förvandlas till en lika
stor halvcirkel, är dess radie lika med spridningen s
(%• T).
Anmärkningsvärt är nu, att medelvärdet a och
spridningen s för en slumpvis sammansatt summa
enkelt kan beräknas ur medelvärdena av a2,... och
spridningarna s1; s,,... för de av varandra
oberoende addenderna, utan att sannolikhetskarakteristikan
för summan behöver beräknas. Man har nämligen
a = at + a2 +... och s2 = sx2 + s22 + ... .
Tillämpat på redan anförda numeriska exempel
betyder detta följande:
Karakteristikan 1 i fig. 3 uppvisar ett medelvärde
lika med 6 800 Mcal/h och karakteristikan 3 ett
medelvärde lika med 100 Mcal/h för respektive
värmebehov. Den slumpvis sammansatta summan, vilken
framställes av kurvan 4 i samma fig. har alltså
medelvärdet 6 900 Mcal/h. Då till denna
värmebehovs-summa ytterligare slumpvis adderas det av
karakteristikan W i fig. 2 framställda värmebehovet, vars
medelvärde utgör 6 250 Mcal/h, så erhålles för
totalsumman medelvärdet (6 800 + 100 + 6 250) Mcal/h —
= 13 150 Mcal/h, vilket summakarakteristilcan i fig.
4 även uppvisar.
Ur karakteristikan 1 i fig. 3 kan vidare på beskri-
9 I motsats härtill beteckna vissa författare s2 såsom
spridning-.
10 Se t. e. Hütte I, 26 uppl., s. 115.
vet sätt beräknas en spridningskvadrat lika med
1,9 • 106 (Mcal/h)2; dvs. en spridning lika med
V 1,9 • 10" Mcal/h = 1380 Mcal/h. De motsvarande
värdena för tillskottsvärmebehovet enligt
karakteristikan 3 i samma fig. beräknas till 0,7 • 10e (Mcal/h)2
och 840 Mcal/h. Den slumpvis sammansatta summan
(karakteristikan 4) får sålunda en spridningskvadrat
lika med
(1,9 + 0,7) • 10e (Mcal/h)2 = 2,6 • 106 (Mcal/h)2,
motsvarande en spridning av 1 610 Mcal/h. Då ännu
värmebehovet enligt karakteristikan i fig. 2, med en
spridningskvadrat lika med 5,4 • 106 (Mcal/h)2,
inbe-gripes i den slumpvis sammansatta summan, får
denna en spridningskvadrat lika med
(1,9 + 0,7 + 5,4) • 106 (Mcal/h)2 = 8,6 • 10" (Mcal/h)2,
motsvarande en spridning av 2 830 Mcal/h, vilket
summakarakteristikan i fig. 4 faktiskt uppvisar.
Motsvarande förhållanden gälla naturligtvis även
vid slumpvisa differensbildningar: medelvärdena
skola härvid subtraheras i st. f. adderas, medan däremot
spridningskvadraterna, vilka alltid äro positiva, även
i detta fall skola adderas.
Summakarakteristikornas gränsform.
Medelvärdet och spridningen för en slumpvis
sammansatt summa (eller skillnad) kunna alltså relativt
enkelt beräknas, även om addendernas antal är stort.
Dessa värden giva dock endast en rätt ofullständig
upplysning om förloppet av den sökta
summakarakteristikan, då ju många karakteristikor kunna
uppvisa samma medelvärde och spridning och ändå hava
mycket olika form. Man kan emellertid fråga sig,
om alla dylika olika former verkligen kunna
ifrågakomma för summakarakteristikan, eller om måhända
ytterligare egenskaper hos den sökta karakteristikan
följa av den omständigheten, att den ifrågavarande
storheten utgör en slumpvis sammansatt summa av
flere av varandra oberoende varierande addender.
Detta spörsmål kan lämpligen tänkas undersökt
genom ett i fig. 8 framställt exempel: Ur tvenne
ut-gångskarakteristikor, båda med den av kurvan 1 i
fig. 8 angivna formen, har genom
sammanlagringsbe-räkning den tillhörande summakarakteristikan
bestämts. Kurvan 2 i fig. 8 visar dess form på så
sätt, att densamma — liksom f. ö. alla kurvor i fig.
8 —■ anger avvikelserna (x — a) från det tillhörande
medelvärdet a i förhållande till spridningen s. Genom
en ny sammanlagringsberäkning med tvenne
utgångs-karakteristikor lika med den nyss funna
summakarakteristikan har en ny summakarakteristika
erhållits, gällande för fyra av varandra oberoende
variabler av det ursprungliga slaget; formen hos denna
nya summakarakteristika visas på redan beskrivet
sätt av kurvan 4 i fig. 8. Genom upprepning av detta
förfarande har vidare summakarakteristikan för åtta
av varandra oberoende addender, framställd av
kurva 8 i fig. 8, erhållits.
Ur framställningen i fig. 8 kan nu ett
anmärkningsvärt fenomen iakttagas. Man ser nämligen att med
växande antal oberoende addender, de på detta sätt
till samma medelvärde (=0) och spridning 1)
reducerade summakarakteristikorna närma sig en viss
gränskurva. Denna kan beräknas och är i fig. 8
inritad som den streckpunkterade kurvan oo. Anslut-
100
21 aug. 1937
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
