Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
ger den kända exponentiallösningen
i —
R
Hur löser Heaviside detta problem? Först och
främst för han in språngfionktionen ("unit function"),
som han, kanske inte alldeles lyckligt, helt enkelt
betecknar med 1. Språngfunktionen är = 0 för t < 0,
och = 1 för t > 0 (fig. 2). Med dess hjälp kan
differentialekvationen skrivas
L^ + Ri = v0.1
och sräller här även för t < 0.
vi
’I
1
Fig. 1. Spole med
konstant emk.
Fig. 2. Språngfunktionen.
Heaviside’s fundamentala regel är nu, att man
sätter
V =
d
dt
och behandlar p som en algebraisk storhet. Vi få då
L • pi + Ri = v0 • 1
varur i kan lösas,
• -I
Vad innebär nu likheten i =
R -\-pL
Heaviside skall man tänka sig, att p här fortfarande
har betydelsen — och att strömmen i (t) erhålles
CL o
genom att operatorn
verkar på språng-
R + L
dt
funktionen på liknande sätt som man genom att låta
operatorn verka på en funktion / (t) får dess
deri-vata †’(t).
I vårt enkla fall är det också lätt att ånge
resultatet av den nämnda operationen. Genom att
jämföra med den redan på annat sätt erhållna lösningen
finna vi
Vq
R + pL
Denna härledning är typisk för Heaviside; han
tolkade ofta operatorerna genom att behandla enkla
problem, vilkas lösning han kände. De resultat han
så fick antog han vara allmängiltiga.
Vi fråga efter betydelsen av en annan enkel
operator, —. Eftersom #• — = 1 bör — vara den inversa
V V V
operationen till p, alltså
I dt
o
Detta är Heaviside’s andra grundregel.
Vi kunna med dess hjälp behandla ett något mera
invecklat problem: vi koppla en kondensator med
kapaciteten C i serie med spolen i fig. 1 (se fig. 4).
Differentialekvationen lyder i detta fall
di 1 *
vilket ger
och
dt
1 «’
L-pi + Ri +
R + pL +
■ 1
pC
Kondensatorn har alltså operatormotståndet — (fig. 3).
p C
R -\-pL
Man kan komma fram till denna likhet utan att
ställa upp differentialekvationen. Man tilldelar
induktansen L "motståndsoperatorn" pL (fig. 3) och
räknar sedan som om man hade ett stationärt
likströmsproblem. Användandet av
motståndsoperatorer måste betraktas som en väsentlig del av
operatorkalkylen, sådan den utvecklades av Heaviside.
Vn • 1? Enligt
—^ÖKP—°PL
°-II-*
pC
Fig. 3. Motståndsoperatorer.
1
■f
Fig. 4. Serieresonanskrets
med konstant emk.
Vad betyder nu — • 1? Tydligen är (fig. 5)
1 *
1 = Jl - dt = tior *>0(= 0 för*<0).
V o
Vi finna vidare
1
V
och generellt
• 1 = - • t :
V
jt -dt.
t2
pn
• 1 =
tn
\n ’’
vilket också är en av
Heaviside^ viktigaste regler.
Heaviside generaliserade till
icke-heltalsvärden på
exponenten och skrev
(f>0)
1
IÉ
Fig. 5. Beräkning av—-1.
V
ps ü(s)
co
Här är II (s) = Gauss’ 27-funktion = J e~u ■ us~1 • d u,
o
som för s — ett helt tal n antar värdet |n. För
s = — i- finna vi den viktiga formeln
och härav
p \!p ■ 1
vtø. 1 =
d 1
" dt^nt
\Jnt
2ts/nt
18
5 febr. 1938
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
