- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1938. Elektroteknik /
19

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Elektroteknik

samt allmänt

dn 1
•H\rtf

1-3-5......(2 rø—1)

(—2 tf \ln t

Men vi kunna ej gå andra vägen och exempelvis
skriva

\tlp.l=–p\Jp-l = — j" dt_
V P V o 2 t\jnt

ty integralen existerar ej! Yi ha här en första vink
om att Heaviside’s regler måste hanteras med
försiktighet.

1 t" 1

I likheten -.....1 = ,- beteckna vi— som en ope-

p" \n pn

tn

rator och — som tillhörande tidsfunktion.
Tidsfunk-| n

tionen är alltid = 0 för t < 0.

Vi måste till slut också något undersöka, hur man
skall behandla en emk av godtycklig form. Två
möjligheter finnas. Den första, som är antydd i fig. 6,
bygger på att den mot en plötsligt påtryckt konstant
emk svarande lösningen är känd. Man ersätter då en
godtycklig emk med en "trappstegskurva" och
till-lämpar superpositionsprincipen. Om en emk =
språngfunktionen 1 ger strömmen i1 (t), så blir enligt
detta resonemang den mot emk:n e (t) svarande
strömmen

i (t) = (t) ■ e (0) -f Jh (t—z) ■ e’ (t)-dr

o

Den andra möjligheten är att helt enkelt införa den
mot emk:n svarande operatorn. Antag t. e., att en
spole vid tiden t — 0 anslutes till en sinusformad
emk v0 • sin a> t (fig. 7). Strömmen vid konstant emk

vn

var u =

R + pL

• 1. Yi ha då här att ersätta 1 med

operatoruttrycket för sin co t eller

pco

p m

■ æ’

Denna s. k. Borels sats kan vara till stor nytta,
då det gäller att tolka en operator, som utgör
produkten av två enkla operatorer. Man kommer då
ofta att tillämpa den på fall, som ej ha något med
det här behandlade fysikaliska problemet att göra.
Det är tydligt att en rent matematisk härledning av
satsen ifråga därför är önskvärd.

Metoder för tolkandet av en operatorlikhet.

Sedan vi inhämtat de grundläggande begreppen
skall jag på några enkla exempel demonstrera de
viktigaste av de möjligheter, som erbjuda sig, då det
gäller att tolka ett operatoruttryck.

1. Operatorns betydelse är känd.

Ett av operatorräkningens viktigaste hjälpmedel
har man i ett "operatorlexikon", dvs. en förteckning
på enkla operatorer jämte tillhörande tidsfunktioner.

Exempel 1. Beräkna utgående strömmen i en oändlig,
induktionsfri kabel med motståndet r och kapaciteten c
per längdenhet, som anslutes till en konstant emk v0
(fig. 8).

’Z

ir.c)

Fig. 8. Till exempel 1.
Vi ha omedelbart

Vo

Z

där kabelns karakteristik

f 1

Alltså

r

c ’ v^

1, så att



R + pL p2

«r

\fn~t

(Språngfunktioneii 1 är här helt utelämnad.
Heavi-side förfor ofta på detta sätt).

2. Expansionsteoremet.

T t

Fig. 6. Emk av godtycklig form.

• __ <P(P) = <P(°)

cp (Pl) _ Pr t

Fig. 7. Spole med
sinusformad emk.

Om speciellt e (0) = 0 få vi alltså i första fallet
lösningen som en viss bestämd integral över två
tidsfunktioner, i andra fallet som — gånger produkten av

motsvarande operatorer. Den matematiska sats, som
ligger till grund för detta förhållande, kan mera
allmänt skrivas

- • Hi [p) - fl, G») • 1 = /Äj (t—t) • h2 (t)-dr =

V o

= jAi tø — r).dz

V[P) 9>(0) ^pvy>’(Vv)

V=1

Här skola tp [p) och yj (p) vara polynom i p, yj
av samma gradtal som q> eller högre. plf p2... pn
äro rötterna till

yj(p) = 0

som alla antas enkla och skilda från 0.

Expansionsteoremet kan sägas inta samtidigt en
central och en ganska isolerad ställning i
operatorkalkylen. Vid system med ändligt antal
frihetsgrader, alltså vanliga kombinationer av motstånd, spolar
och kondensatorer, bildar det den naturliga
lösningsvägen. Det har emellertid också med framgång
använts på kontinuerliga system med oändligt antal
frihetsgrader, t. e. den induktionsfria kabeln.
Ekvationen yj (p):— 0 har då ett oändligt antal rötter. Men
man får ej överdriva teoremets betydelse i dylika fall.
Det är mycket användbart så länge man inskränker
sig till problem av diffusionstyp. Då det blir fråga

5 febr. 1938

19

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Tue Dec 12 02:21:27 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1938e/0023.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free