Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
förbundna med tidsfunktionens egenskaper för stora
t och omvänt. Ett första exempel på denna
recipro-citet hade vi i serieutvecklingarna. Ett annat
exempel utgöra de båda satser, för vilka jag vågar föreslå
benämningen reciprocitetssatsenia. De utsäga i
huvudsak följande.
Första reciprocitetssatsen: Tidsfunktionens
begynnelsevärde (t = 0) är lika med operatorns värde för
p = oo.
Andra reciprocitetssatsen: Tidsfunktionens
stationära slutvärde (t = oo) är lika med operatorns värde
för p — 0.
Exempel 8.
Vo
B+pL
Vo
B
t = 0, p = oo : i =
t — oo, p — 0 : i ~
p’
p2 -)- Co2
= eos O) t
se vi, att den första ger rätt resultat, för p — oo blir
operatorn = 1 och lim eos a> t är även = 1. För
p — 0 däremot blir operatorn — 0 under det att
lim eos co t är obestämt. Andra reciprocitetssatsen
00
gäller alltså ej. Yi återkomma senare till denna
fråga.
Modern framställning.
Bromwich-Wagners integral.
Det föregående torde ha givit en antydan om de
möjligheter, som operatorkalkylen inrymmer för den
praktiske räknaren. Man får mestadels lösningarna
på ett bestickande enkelt sätt. Framställningen, som
anslöt till Heaviside och till den äldre
operatorlitte-raturen överhuvudtaget, ledde ju snabbt och enkelt
fram till de viktigaste resultaten. Det kan dock
knappast förnekas, att den var störande löslig och här
och där stötte en smula på "trolleri". Det gäller
alltså nu att få en framställning, där tillämpningarna ej
kompliceras, men som ändock är matematiskt
tillfredsställande.
Yi kunna då ta som utgångspunkt det
fundamentala faktum, att en operatorlikhet
h (t) = H (p) • 1
kan uppfattas som ett förkortat skrivsätt för en
komplex integral, Bromwich-Wagners integral1
Man skall här ha c > O och integrationsvägen (se
fig. 10) skall läggas så, att den kommer till höger
om alla singulära punkter hos integranden. (De
singulära punkterna hos en funktion av en komplex
variabel äro i första hand sådana punkter, där
funktionen blir oändlig och sådana för vilka ett ingående
rotmärke blir noll).
O
Vo
B
Reciprocitetssatsenia framgå omedelbart ur ett
fysikaliskt resonemang för den händelse operatorn
såsom i exempel 8 ger den mot en plötsligt påtryckt
konstant emk svarande strömmen. För t — O verka då
alla induktanser L som avbrott och alla kapaciteter C
som kortslutningar, dvs. vi ha p L = oo, ^ = O,
p C
alltså p — oo. För t = oo blir analogt pL — O,
= oo och p — 0.
pC
Men man önskar ofta använda reciprocitetssatsenia
såväl som övriga operatorsatser i fall, som äro
frigjorda från den fysikaliska problemställningen. Det
är då av vikt att veta när reglerna rent matematiskt
gälla och när de icke gälla.
Tillämpa vi exempelvis reciprocitetssatsenia på
likheten
p-planef
J
C ’ / 1 / 1 II C-joe
f 1 för t > 0
\ 0 för t < 0
Fig. 10. Integrationsvägen i Bromwich-Wagners integral.
Man kommer fram till Bromwich-Wagners integral
på ett fysikaliskt åskådligt sätt, om man utgår från
det matematiska resultatet, att språngfunktionen,
som hädanefter skall betecknas med [1]„ kan skrivas
c+jco
1 r evt
Pi-iijJ J-dp’
c — joo
Integrationsvägen skall här ligga till höger om
p — 0, som är den enda singulära punkten hos
integranden.
Om vi tänka oss integralen som gränsvärdet för en
summa, kan ovanstående uttryck på [1], tydligen
uppfattas som en spektral uppdelning i enkla
expo-nentialelement av den påtryckta emk:n
m C 1 dp
2nj p
• e*" = A ■ eP’
Varje spänning ep ger upphov till en ström ip.
en serieresonanskrets gäller exempelvis, att
t
Lii+Rip+~c)ip’dt==ep
För
Om vi anta, att ip har samma form som e,
– B ■ e^, blir
■p> -p
di t
j
= P ■ h^Sjp’ dt ■
och alltså
— ■ ip (reella delen av p är > 0!)
dvs.
i Denna integral användes redan av Cauchy, men T. J. I’a
Bromwich, Proc. Lond. math. Soc. 15 (1916), p. 401 och
K. W. Wagner, Arch. Elektrotechn. k (1915—16), p. 159,
voro de första som, oberoende av varandra, satte den i [-förbindelse med operatorkalkylen.
5 febr. 1938
21
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
