Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
funktioner. Dessa operatorer,
förvilkaalltsåBromwich-Wagners och Carson’s integraler gälla, har jag kallat
begränsade. En begränsad operator kan tillhöra
endera av två klasser, klass I och klass II, eventuellt
båda.1
En begränsad operator av klass I har alla singulära
punkter till vänster om en rät linje parallell med
imaginära axeln (fig. 11 a). Den går vidare mot
Elektroteknik
2. förskjutningssatsen
noll åtminstone som
V
en liten potens av
-1
i tn . i
sinh p
, sätt att
■ 0 åtminstone som en liten potens av
Exempel äro
P
——- =e’ och =
V ’ V +1 ’ ’ s/nt
Jag använder vidare för en viss klass av
ickebegränsade operatorer benämningen modifierade
operatorer. En operator H (p) är modifierad, om en
operator ^f- finnes, som är begränsad av klass II.
, 1 • 3 ■ 5 ... (2 «— 1)
Ett exempel är pn \J p =–––—-.
(— 2 tf \Jn t
hjälp Bromwich-Wagners och Carson’s
kunna vi nu, under användande av den
införda operatorklassificeringen, få fram ett
giltighetsområde för varje operatorregel. En
sammanfattning av resultatet följer här. För en utförligare
framställning hänvisas till ett arbete som jag nyligen
publicerat.2
För såväl begränsade som modifierade operatorer
gäller
H(lp) = h^
Med
integraler
1. likformighetssatsen
i De exakta definitionerna på en begränsad operator lyda
som följer.
I. Operatorn H (p) är begränsad och av klass I om
1.
gfø)
V
är en analytisk funktion av den komplexa va-
riabeln p, som är regulär (saknar singulära punkter) i varje
ändligt område till höger om den med imaginära axeln
parallella räta linjer Re (p) = a (fig. 11 a),
2. ett positivt tal g0 existerar, sådant att
■B(p)!
0 för £ < en
lim
\p\ +cc
Re(p)> a
II. Operatorn H (p) är begränsad och av klass II om
1. ^Jp} är en analytisk funktion av den komplexa va-
V
riabeln p, som är regulär i varje ändligt område till höger
om de räta linjerna h oeh h (fig. 11b), definierade av
.a + r-e±lv\
V
H(p+1)-
p
3. fördröjningssatsen e~’-P- H(p) = h(t
För begränsade operatorer enbart gäller
-u-h[t)
V
då
oo. Exempel äro ^ — och-——. Den
1 pn
senare operatorn har oändligt många
oändlighetsställen (poler) p—±j-kn(k = 0, 1, 2, 3,...)
längs imaginära axeln.
En begränsad operator av klass II har alla
singulära punkter belägna i ett vinkelområde enl. fig. 11 b.
Vidare växer den långsammare än p, då p oo, på
H(p)
Carson’s integral
Borels sats
~.H(p) = jh(r)dr
" o
p ■ H (p) == h’(t), om p ■ H(p) är begränsad
För modifierade operatorer gäller
p • H (p) = ti (t) om t > 0
Fig. 11 a.
Fig. 11 b.
2. ett positivt tal So existerar, sådant att
lim • —— = 0 för c < c. (p till höger om l, och l„)
|/>! ->00 I V I
2 "The Transients of an Inductively Shunted Electric
Transmission Line with Special Reference to the Impulse
Transmission in Selective-Calling Telephone Systems",
Av-handl. Tekn. högskolan Stockholm, 1937 ; Ericsson Technics
No 5 och 6, 1937.
Till definitionen av begränsade operatorer.
Expansionsteoremet för ändligt antal rötter pr
följer vidare omedelbart ur Bromwich-Wagners
integral som en tillämpning av den s. k. residussatsen.
Även vid oändligt antal rötter bildar denna integral
grunden för en sträng behandling.1
Blandade uttryck av formen F (p) • h (t),
d-funktionen.
Vi kunna nu också införa uttryck, som innehålla
såväl p som t. Vi definiera F {p) • h (t) som den
tids-funktion, vars operator är F (p) • H (p).
F{p).h(t)=<P(t) = F(j>).H{p)
Då blir speciellt
JL.ffføw1 ./(«)= \h{r)-dr
V V o
p. H(p) = p ■h(t) = h’(t)
1 t
— kan alltså tolkas som jdt, om operationen sker
P o
på en tidsfunktion, vars operator är begränsad.
d
Vidare kan man sätta p — — för t > O, om operatorn
CiO
för den resulterande tidsfunktionen är begränsad, för
t > O, om den är modifierad.
Slutligen införa vi den mot operatorn p svarande
tidsfunktionen
p = ö(t)
(5 (t) är den av Dirac i kvantmekaniken använda
(5-funktionen. Den har egenskaperna
d (t) = O för t ‡ O ^ 00
8 (t) = oo för t = O
Den kan betraktas som derivatan av
språngfunktionen,
d
à(x)-dx= 1
ö(t).
dt
fi].
och representeras elektriskt av laddningsströmmeri
1 Se K. Dahr, l. c., p. 60.
5 febr. 1938
23
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
