- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1938. Elektroteknik /
25

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Elektroteknik

vissa inskränkningar.1 Andra reciprocitetssatsen
(p -> 0, t -> oo) fordrar exempelvis, att operatorn
har alla singulära punkter i vänstra halvplanet. Detta
är ej fallet med vårt tidigare behandlade exempel
pi

p2 + co2

där ju satsen också slog slint. Operatorn har
nämligen i detta fall två oändlighetsställen, poler,
p — ± j co på imaginära axeln. Polerna p = — ß-jæ
till

= eos CO t

p(p + ß)

-ßt

■ eos CO t

till en slinga från — oo runt den singulära punkten
(förgreningspunkten) p = 0 jämte två små cirklar
kring polerna p—± j w (fig. 14).

Slingan kring p — 0 ger just Heaviside’s
utveckling, cirklarna kring polerna åter den stationära
sinustermen, som vi hade tappat bort. Man kan
beräkna den med hjälp av expansionsteoremet.

(p + ߆ + co2 ’
ligga däremot för ß > 0 i vänstra halvplanet. Det
är också lätt att övertyga sig om, att andra
reciprocitetssatsen här ger rätt resultat.

Av det transformerade uttrycket på
Bromwich-Wagners integral se vi också, att om vi ersätta
operatorn med ett närmevärde, som ger god
approximation för stora (små) p, böra vi få ett uttryck
på tidsfunktionen, som ger god approximation för
små (stora) t. Vidare, en serieutveckling av
operatorn, som konvergerar hastigt för stora (små) p bör
ge en serie i t, som är lämplig för små (stora) t.

På Bromwich-Wagners integral kan man också
bygga stränga bevis för serieutvecklingarna. Frågan
om vi ha rätt att interpretera en serie på stora p
term för term, innebär rent matematiskt, att vi måste
undersöka, om vi ha rätt att integrera term för term
i integralen.

För att demonstrera det sätt, på vilket man
vanligen behandlat serier på små p, skall jag ta ett
bekant fall, där Heaviside’s regel slår slint. Operatorn

p\Fp

p2 + co2

ger utgående strömmen på en oändlig, induktionsfri
kabel, då den vid t = 0 anslutes till en sinusformad
spänning. Utveckling i potenser på \fp och
interpre-tering ger tydligen fel resultat, man får ej med det
sinusformade sluttillståndet. Om vi däremot utgå
från Bromwich-Wagners integral kunna vi på i
funktionsteorien vanligt sätt deformera integrationsvägen

i I mitt förut nämnda arbete har jag bevisat följande.

I. Antag.

1. lim H (p) existerar och har ett ändligt värde H (oo)

|pl > æ

Re (p) > a

2. lim / . |ff (p) — H (ao)} = O för £ <

|pl 00

Re (p)> a
där eo är ett fixt positivt tal.

Då gäller, att

lim h (t) — lim H (p) Första reciprocitetssatsen
<-> + 0 |pl->æ

Re(p)>a

II. Antag

1. H (p) är en begränsad operator av klass II eller en
modifierad operator,

2. H (p) är regulär till höger om de två från origo
utgående linjerna p = r ■ v [n > <p > ^j,

3. lim H (p) existerar och har ett ändligt värde H (0), vil-

W-vo

|årg P\<<P

ket H (p) närmar sig likformigt inom det betraktade
området.

Då gäller, att

lim h (t) — lim II (p) Andra reciprocitetssatsen.
t>oo l?|->0

|årg p| < <p _

Fig. 14. Till operatorn

» \/ p

Yi se alltså, att även serieutvecklingarna ligga
fullkomligt klara. Det sist skisserade behandlingssättet,
som inom operatorlitteraturen först torde ha
framställts av J. P. Schouten,1 anser jag dock vara från
operatorkalkylens ståndpunkt ofullkomligt, man gör
ett alltför vidsträckt bruk av komplexa integraler.
Det torde också vara möjligt att i stället först bevisa
en grundläggande operatorsats och sedan på denna
bygga upp hela teorien med enbart operatorspråk.

Ett par nyare operatorsatser.

Som tidigare nämnts, ha de senare årens
forskningar inte endast konsoliderat grunden till
operatorkalkylen, utan även utvecklat själva
räknemaski-neriet. Dit får man kanske räkna behandlingen av
system med begynnelsevillkor. Dit höra också en del
satser, som knappast ingingo i Heaviside’s arsenal.
Jag skall här anföra två, som jag tror vara av
särskild betydelse.

Den första2

p . ffW (p) = (— tf -h’ (t)
anger vad man får genom att derivera operatorn med
avseende på p. Yi se, att detta i huvudsak innebär
en multiplikation av tidsfunktionen med t (jämför
derivering med avseende på t = multiplikation med
pl). Jag hoppas att i mitt förut nämnda arbete kunna
bidraga till att klargöra den mångsidiga användning,
som man har av denna sats.

Den andra satsen skulle jag vilja kalla
transforma-tionssatsen.3 I ett viktigt specialfall lyder den

H(\/p) =

\j nt.

| e »-h[j]-dx

[Som vanligt anta vi H (p)== h (t)}.

1 J. P. Schouten: "Over de grondslagen van de
opera-toren-rekening volgens Heaviside", Diss. Delft 1933.

2 G. Doetsch, Math. Ann. 89 (1923), p. 192; Balth. van
der Pöl, Philos. Mag. 8 (1929), p. 861.

3 Se t. e. S. Ekelöf, Blektr. Nachr.-Techn. 12 (19.35),
p. 100 ; J. P. Schouten, Physica 2 (1935), p. 75.

5 febr. 1938

25

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Tue Dec 12 02:21:27 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1938e/0029.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free