Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
ELEKTROTEKNIK
Redaktor: JULIUS KÖRNER
HÄFTE t utgiven av svenska teknologföreningen 7 JAN. 1939
INNEHÅLL: Grunderna för tensorers användning i elektrotekniken, av Arne Wikström. — Teletekniska
anordningar i luftförsvarets tjänst, av H. Romanus. — Notiser. — Föreningsmeddelanden.
Grunderna för tensorers användning i
elektrotekniken.
Av ARNE WIKSTRÖM.1
Ehuru denna artikel avser att vara en introduktion
till tensoranalysens användning för lösandet av
elektriska problem, bör man inte glömma, att denna
s. k. "absoluta matematik" kan finna tillämpning inom
många andra grenar av tekniken.
Den ursprungliga källan till denna matematik är den
högre geometri, som använder sig av
differentialkalkylen utsträckt till mer än tre dimensioner. Den
första grunden torde den tyske matematikern Gauss
ha lagt genom att basera den metriska geometrien
av en vanlig yta på egenskaper, som för sin
definition icke fordra element belägna utanför ytan.
Denna differentialgeometri utsträckte sedan
Rie-mann till ett godtyckligt antal dimensioner.
Förutom Gauss och Riemann ha Beltrami,
Christoffel och Libschitz bidragit till att bereda
vägen för tensoralgebra och tensorkalkyl.
Dess utveckling genomfördes därefter till största
delen av italienaren G. Ricci, professor i matematik
i Palermo. Levi-Civita, som var en av Riccis elever
och sedermera professor i Rom, har genom att införa
begreppet parallellism i samband med
differentialgeometri i mer än tre dimensioner bidragit till
utvecklingen av Riccis matematik.
I fysiken erhölls härmed en w-dimensional
dynamik, som blev särskilt tillämpad i relativitetsteorien.
Tensorer kunna komma till nytta, närhelst ett
problem kan behandlas medelst ett system av n
ekvationer, vare sig dessa äro lineära eller ej. Men
tensoranalysen erbjuder icke någon lösning i de fall,
där ej ens en ekvation kan skrivas i ett enkelt
specialfall, eller där en eventuell sådan ekvation är
olöslig.
Det är av särskilt värde, att tensoranalys kan
användas att generalisera ett specialfall. Låt oss till
exempel antaga, att en lösning förefinnes av ett
speciellt problem rörande en transformator, som har
endast en primär och en sekundär lindning. Med
tillhjälp av tensorer kan problemet utsträckas till
i Professor i elektroteknik vid University of Maryland,
College Park, Md., U. S. A. Det svenska manuskriptet
granskat av E. T. G-las.
en "generell" transformator, som har ett godtyckligt
antal lindningar. En mera generell lösning medför
givetvis förutom överskådlighet möjligheten för
framtida problemsyntes i stället för den nu brukliga
analysen. Sådan syntes torde i så fall bestå i att
sammansätta ledningsnät och apparatur på sådant sätt,
att vissa önskade karakteristiker erhållas.
Av ovanstående framgår att tensoranalysen ger en
enklare, mera överskådlig lösning än den
konventionella lösningen, men att genom tensoranalys
egentligen icke någon ny lösning kan erhållas.
Tensoranalysen är endast ett, låt oss säga, mera generellt
och elegant räknesätt.
Eftersom läsaren antages icke hava några
förkunskaper i tensoranalys1, skall i det följande, så långt
i En tensor T är en hypotetisk storhet så beskaffad, att
om den "projicieras" i en viss riktning r (a, ß, r) man får en
vektor T (ligger dock endast i vissa karakteristiska fall i
inriktningen ), dvs. med ri som enhetsvektor
Den "skalära" produkten upplöses formellt genom att de
hypotetiska komponenterna Tx, Ty, Tz införas, så att
Tx-a+ Ty-ß+ Tz ■ y — T = i ■ Tx + ’j ■ Ty + k- Tz
Eftersom högra membrum är vektoriellt, måste också
vänstra membrum vara det. Om komponenterna Tx, Ty, Tz
vet man alltså, att de äro vektorer, men man vet däremot
ingenting om dessa vektorers riktning. I allmänhet kan man
emellertid med vektormarkering av komponenterna sätta
Z* =I Txx +l ’ T;aj där t. e. Tyx betecknar x-
Ty = t^Tyx + rTyy + kjTy komponenten a v ~7\,
Tz=i-Tzx + j- Tzy +k-Tj
Identifieras koefficienterna för i, j och k, så får man
Tx = « Txx + ß Tyx + y Tzx |
Ty = a • TXy + ß ■ 7’yy ^ " Tzy ,
r2 = « Txz+ß Ty2 + y Tzz\
Tensorn är alltså fullt bestämd, om 9 koefficienter äro
kända. Om speciellt de 6 ömsesidiga koefficienterna äro lika
med noll, övergår tensorn till en vektor. Endast i detta fall
ha tensorkomponenterna Tx, †v, T. x-, y- och s-axlarnas
riktningar. Ett annat specialfall är den symmetriska tensorn, där
Tx„ = V> Tyz = T’y> Tzx=Txz- Till denna sort hör den
elektrostatiska spänningstensorn.
Det är brukligt att vända de båda index hos T och att
1
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
