Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
utrymmet tillåter, de nya begreppen gradvis
utvecklas med början anknuten till den nu väl kända
komplexa vektoralgebran.
Komplexa tal.
Eftersom varje elektroingenjör nu för tiden torde
vara fullt hemmastadd i användning av komplexa
tal för lösandet av elektriska problem, är det här icke
avsikten att meddela någon som helst kunskap i
komplex vektoralgebra, utan jag avser endast att
anföra några exempel för att giva läsaren en direkt
inledning till en, för de flesta elektroingenjörer ännu
ganska obekant gren av matematiken. Givetvis kan
man lära sig att rent mekaniskt använda även denna
metod, men då det för de flesta av oss är
motbjudande att mekaniskt använda något som vi i
grund och botten ej förstå, blir i allmänhet icke
sådant studerat, vars verkliga betydelse ej kan fattas.
Fastän det torde vara svårt att i en kort artikel klart
framlägga tillräckligt material för att en läsare skall
kunna göra sig ett begrepp om användbarheten av
denna metod, hoppas jag att åtminstone kunna
väcka visst intresse och samtidigt bibringa en viss
förkunskap, som kan hjälpa nybörjaren under de
första försöken att bekantgöra sig med tensorers
användning i elektroteknik.
I den komplexa algebran använder man sig av ett
rätvinkligt koordinatsystem, där den horisontella
axeln kallas den reella och den vertikala axeln den
imaginära. En vektor e = a + j b har därför två
komponenter, den reella komponenten a och den
imaginära komponenten b. För att förhindra
"blandning" av horisontella och vertikala komponenter har
alltså den vertikala komponenten alltid ett
igenkänningstecken. Den har nämligen alltid framför sig
bokstaven j. Det får icke glömmas, att e är en
funktion av tiden, och att därför bilden representerar
ett ögonblicksfotografi av vektorn. Eftersom alla
andra vektorer ha "fotograferats" i samma
tidsögonblick, representerar ett vektordiagram, som kan
bestå av ett stort antal vektorer, ett så att säga "fruset
tillstånd".
I det följande komma alla spänningar och strömmar
att betecknas med små bokstäver (e, i) under det
alltså med tyx mena ä/-komponenten av tx. Med sistnämnda
beteckning: får tensormatrisen formen
t= i
k
I författarens terminologi kallas detta en dyadik (se 5),
ehuru räkningen med dyadiker av honom benämnes
tensor-analys.
Matrisen kan uppdelas i en symmetrisk och en
antisymme-trisk matris (i den sistnämnda är tx1j =— t,/x etc. samt txx =
= Tyy = T:z = 0). Den symmetriska matrisen kallas ibland
ensam för tensormatris (i inskränkt mening).
I uppsatsen har bibehållits författarens beteckningssätt
med understrukna bokstäver, ehuru detta ej stämmer med i
vårt land vanligen tillämpad praxis. Något missförstånd torde
dock ej behöva vållas härav.
(Granskarens anmärkning.)
motstånd, reaktanser och impedanser betecknas med
stora bokstäver (B, X, Z). De inverterade
storheterna, konduktanser, susceptanser och admittanser,
betecknas likaledes med stora bokstäver (G, B, Y).
För säkerhets skull skola spännings- och
strömvektorer förses med en igenkänningssymbol. Så t. e.
betyder ia att strömmen är att finna i ledaren a.
En impedans fordrar givetvis två
igenkänningstecken Zab. Den första bokstaven, "a", anger i vilken
ledare spänningen är att finna och den andra
bokstaven, "b", i vilken ledare strömmen befinner sig.
Om Zab genomflytes av strömmen ib, blir
spänningsfallet
ea — %ab h
eller utskrivet i komplex form
ßa + 7’e’a = {Rab + j X-ab) [h + P’b)
I allmänhet är det, när två ledare åtskiljas genom
ett isolerande medium, endast genom ömsesidig
induktion möjligt för en ström i ledaren "b" att orsaka
ett spänningsfall i ledaren "a". Något spänningsfall
i "a" på grund av det rent ohmska eller
induktions-fria motståndet i "b" kan icke komma i fråga och
därför kan man skriva: Zab = Xab.
Antag nu att tre ledare a, b, c, ha följande
karakteristiska konstanter: Zfla, Xab, Xac; Kba, ZM, Xtc\
Xca> ^ec’
För de tre spänningarna i ledarna a, b och c
erhålles:
ea = X-aa K + Xab h + Xao h (»))
eb = Xbaia + Zbbib+Xbcic (b) (l)1
ec = Xca K + Xcb h + Xcc ic (c)J
Införandet av enhetsvektorer.
Eftersom i ett exempel, där siffror förekomma, det
annars vore svårt att komma ihåg, vilken ledare det
är fråga om, skriver man efter varje spänning och
ström en igenkäimingssymbol, en enhetsvektor.
Sådana enhetsvektorer, a, b, c, äro "rumsvektorer" och
antagas bilda rät vinkel med varandra.
När’ man utsträcker antalet enhetsvektorer till
flera än tre, antages alltjämt att alla dessa vektorer
ömsesidigt bilda räta vinklar med varandra. Att man
ej geometriskt kan föreställa sig ett sådant
koordinatsystem hindrar icke att ett sådant liyperdimensionalt
system kan användas rent matematiskt.
Enligt denna beteckning betyder alltså iaa att
ia ampere flyter i ledaren a och i ett numeriskt fall
syftar då 10 a på en ström av 10 ampere i ledaren a.
Efter en impedans måste för tydlighetens skull två
enhetsvektorer skrivas. Om Zaaaa skrives 10 aa,
betyder detta, att, om en ström ia flyter i ledaren a,
spänningsfallet i denna ledare blir 10 ia.
Låt oss nu skriva ovan angivna ekvationssystem
(1) med denna nya beteckning.
i De tre spänningarna ea, eb och ec äro här
"tidsvektorer", och därför måste storheterna på högra sidan om
likhetstecknet vara vektorer och sålunda betecknas med
komplexa tal. Ekvation (1 a) skulle, om den utskrivits i detalj,
ha tagit formen:
ea + i*’a = {ä<m + i t( Xao)£- (X„0)C]} (ia 4- ji’a) +
+ Il {Xab )L - (Xab )C] {ib + ji’b) + i [(Xac)L~ (Xaf)C] V + P’c)
i j k
t ’ XX t •xy t ’ xz
t yx t yy t yz
t zx t ’•V t ’ 22
2
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
