Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Mekanik.
Elastisk stöt mot en cylinder.
Av teknolog BENGT ANDERSSON.
Ofta menar man med "elastisk stöt" att
studskoeffi-cienten =1. I andra fall menas, att ingen energi
genom stöten övergår i värme. Dessa båda
antaganden innebära ej detsamma, vilket säkert skall
framgå av nedanstående, mer i detalj behandlade
stöt-problem.
En cylindrisk kropp av relativt mjukt material
träffas enligt fig. 1 av en tung vikt W, vars
hastig-~vw-wi i het ■= v. Under antagande av att
] W J ingen energi omsattes i värme, ön-
- ska vi beräkna den lägsta hastighet
v’, med vilken W åter kan lämna
cylindern efter stöten, dvs. vi önska
beräkna ett teoretiskt minimum för
stöttalet.
e
W — den påstötande kroppens vikt;
w
s ==
W
x: koordinater för olika skikt i odeformerat
tillstånd,
z: förskjutning under stötförloppet
z — z (x, t)
Relativa volymändringen för ett tunt skikt vid
3 z
dx blir: —. och blir alltså trycket
dx
T? àZ
V==-E’Tx
Per ytenhet av elementet dx verkar alltså en
resulterande kraft
dp , 32 ø
— v- -dx = E • • dx
dx dx1
och erhålles alltså rörelseekvationen;
J dP J
®’ 37* dx dx2
, d2 32
om vi anse störningarna små; oo
Rörelseekvationen kan alltså skrivas
d2z „d2z
= c’
dx2’
(1)
Denna hyperboliska differentialekvation har allmän
lösning:
z — †1 (ct + x)-\- f.2 {ct — x)
Randvillkor:
dz
/’///;/////,/; _ v’
Fig. 1. En tung V
kropp W stöter ..
På en elastisk ey- Vi gora antagandet, att vikten W
linder. är betydligt större än cylinderns
vikt w och önska speciellt studera
fall, då s •— w/W är åtminstone mindre än 1/5.
Inom tekniken stöta vi ofta, på just dylika problem.
Det kan gälla stöten mot gummibuffertar eller mot
en hård yta, som utåt är skyddad av ett mjukt skikt.
Se fig. 2 a och 2 b.
Problemet gavs åt mig, då man önskade känna
stöttalet för en gummibuffert eller alternativt en
oljebuffert.
Den stötvåg, som går genom materialet i cylindern,
antages endimensionell.
Beteckningar:
A = cylinderns snittarea,
l — cylinderns längd,
q = cylindermaterialets täthet,
w = cylinderns vikt;
W:— A-l- q - g
E := cylindermaterialets elasticitetsmodul,
c r= ljudhastighet inom cylindermaterialet;
2 E
c2 = —
för x = 0 är z = 0; ~ = 0 för alla ^-värden. Här-
d t
av följer att allmänna formen blir.
z = f(ct + x) — †(ct — x) (2)
för xt= l: skall gälla följande villkor för rörelsen hos
den påstötande kroppen
W d2z
A - p =
eller:
3 z W
dt2
— A - E ■
eller:
dx
d2z
3 -T*2
g dx’
d2 z s dø
dx2 l dx’
Insattes liäri ansatsen (2), så erhålles:
f (ct + l) — f" (ct — l) = — | {†\ct + l) + f\c t -
Efter en integration m. a. p. t erhålles:
f> [ct + l)—f[ct-l]^-^[f[ct + l] + flct — l)}-
v
c
där v är begynnelsehastigheten hos kroppen W.
(3)
W
’WM////J
l"
sssssssssms?
Fig. 2 a Vid stöt mot ett
elastiskt skikt kan vid
överslagsräkning ofta en
reducerad cylinder införas.
"o//o
Fig. 2 b.
Schematisk skiss av
oljebuffert.
Vi införa nu förskjutningen vid x—l.
z (l, t)=9> (Ct) ,= f(ct + l)—f (ct — l) (4)
Ur ekvation (3) erhålles härvid
tp’ (ct) — <p’(ct — 2l) =
Inom det första intervallet 0 < ct <21 gäller dock
1(cp(ct)-\-cp(ct — 2l)). (5)
s v
cp’(ct)=—-l • <p(ct) — -
(piet) =
v l
c s
(6)
21 juni 1941
89
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
